En el estudio matemático de funciones armónicas , el método de Perron , también conocido como el método de funciones subarmónicas , es una técnica introducida por Oskar Perron para la solución del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace . El método Perron funciona encontrando la función subarmónica más grande con valores límite por debajo de los valores deseados; la "solución de Perron" coincide con la solución real del problema de Dirichlet si el problema es soluble.
El problema de Dirichlet es encontrar una función armónica en un dominio, con condiciones de contorno dadas por una función continua . La solución Perron se define tomando el supremo puntual sobre una familia de funciones,
dónde es el conjunto de todas las funciones subarmónicas tal que en el límite del dominio.
La solución de Perron u (x) es siempre armónica; Sin embargo, los valores que toma en el límite pueden no ser los mismos que los valores límite deseados.. Un punto y del límite satisface una condición de barrera si existe una función superarmónica, definido en todo el dominio, de modo que y para todos . Los puntos que satisfacen la condición de barrera se denominan puntos regulares del límite para el laplaciano. Estos son precisamente los puntos en los que se garantiza la obtención de los valores límite deseados: como.
La caracterización de puntos regulares en superficies es parte de la teoría del potencial . Puntos regulares en el límite de un dominio son aquellos puntos que satisfacen el criterio de Wiener: para cualquier , dejar ser la capacidad del conjunto; luego es un punto regular si y solo si
diverge.
El criterio de Wiener fue ideado por primera vez por Norbert Wiener ; Werner Püschel lo extendió a ecuaciones de forma de divergencia uniformemente elíptica con coeficientes suaves, y de ahí a ecuaciones de forma de divergencia uniformemente elíptica con coeficientes medibles acotados por Walter Littman, Guido Stampacchia y Hans Weinberger .
Referencias
- Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41160-4
- Littman, W .; Stampacchia, G .; Weinberger, H. (1963), "Puntos regulares para ecuaciones elípticas con coeficientes discontinuos" , Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze , 3, Pisa, Italia: Scuola Normale Superiore di Pisa, 17 (1-2), págs. 43–77 SEÑOR161019
Otras lecturas
- Conway, John B. (1996-06-13), Funciones de una variable compleja II , Textos de posgrado en matemáticas , 159 , Springer-Verlag , págs. 376–383, ISBN 978-0-387-94460-9
- Kellogg, OD (1953), Fundamentos de la teoría potencial , Nueva York: Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-60144-1
- Landkof, NS (1972), Fundamentos de la teoría del potencial moderno , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR 0350027
- Perron, O. (diciembre de 1923), "Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für Δu = 0", Mathematische Zeitschrift , 18 (1): 42–54, doi : 10.1007 / BF01192395 , ISSN 0025-5874
- Püschel, Werner (1932), "Die erste Randwertaufgabe der allgemeinen selbstadjungierten elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung im Raum für beliebige Gebiete", Mathematische Zeitschrift , 34 (1): 535-553, doi : 10.1007 / BF01180608 , ISSN 0025 hasta 5874 , MR 1545272
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Método Perron" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press