El axioma de Playfair
En geometría , el axioma de Playfair es un axioma que puede usarse en lugar del quinto postulado de Euclides (el postulado paralelo ):
En un plano , dada una línea y un punto que no está en él, como máximo se puede trazar una línea paralela a la línea dada a través del punto. [1]
Es equivalente al postulado paralelo de Euclides en el contexto de la geometría euclidiana [2] y recibió su nombre del matemático escocés John Playfair . La cláusula "como máximo" es todo lo que se necesita, ya que se puede demostrar a partir de los axiomas restantes que existe al menos una línea paralela. La declaración a menudo se escribe con la frase "hay un solo paralelo". En Elementos de Euclides , se dice que dos líneas son paralelas si nunca se encuentran y no se utilizan otras caracterizaciones de líneas paralelas. [3] [4]
Este axioma se usa no solo en la geometría euclidiana, sino también en el estudio más amplio de la geometría afín, donde el concepto de paralelismo es central. En la configuración de la geometría afín, se necesita la forma más fuerte del axioma de Playfair (donde "como máximo" se reemplaza por "uno y solo uno") ya que los axiomas de la geometría neutra no están presentes para proporcionar una prueba de existencia. La versión de Playfair del axioma se ha vuelto tan popular que a menudo se la conoce como el axioma paralelo de Euclides , [5] aunque no era la versión de Euclides del axioma. Un corolario del axioma es que la relación binaria de líneas paralelas es una relación serial .
Proclo (410-485 d. C.) hace claramente la declaración en su comentario sobre Euclides I.31 (Libro I, Proposición 31) [6]
Playfair adoptó esta breve expresión del paralelismo euclidiano en su libro de texto Elements of Geometry (1795), que se volvió a publicar con frecuencia. El escribió [8]
