En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas, una relación serial , también llamada relación total o más específicamente relación total izquierda , es una relación binaria R para la cual cada elemento del dominio tiene un elemento de rango correspondiente (∀ x ∃ y x R y ).
Por ejemplo, en ℕ = números naturales , la relación "menor que" (<) es serial. En su dominio , una función es serial.
Una relación reflexiva es una relación serial pero lo contrario no es cierto. Sin embargo, se puede demostrar que una relación serial simétrica y transitiva es reflexiva. En este caso, la relación es una relación de equivalencia .
Si un orden estricto es serial, entonces no tiene ningún elemento máximo .
En Principia Mathematica , Bertrand Russell y AN Whitehead se refieren a "relaciones que generan una serie" [1] como relaciones en serie . Su noción difiere de la de este artículo en que la relación puede tener un rango finito.
Para una relación R, sea { y : xRy } la "vecindad sucesora" de x . Una relación serial se puede caracterizar de manera equivalente como cada elemento que tiene un vecindario sucesor no vacío. De manera similar, una relación serial inversa es una relación en la que cada elemento tiene una "vecindad predecesora" no vacía. [2] Más comúnmente, una relación serial inversa se llama relación sobreyectiva y se especifica mediante una relación inversa serial . [3]
En la lógica modal normal de , la extensión de axioma fundamental establece K por los resultados de propiedad en serie en conjunto axioma D . [4]
Caracterización algebraica
Las relaciones seriales se pueden caracterizar algebraicamente por igualdades y desigualdades sobre la composición de las relaciones . Si y son dos relaciones binarias, entonces su composición R ; S se define como la relación
- Si R es una relación serial, entonces S ; R = ∅ implica S = ∅, para todos los conjuntos W y relaciones S ⊆ W × X , donde ∅ denota la relación vacía . [5] [6]
- Sea L la relación universal :. Una caracterización [ aclarar ] de una relación serial R es. [7]
- Otra caracterización algebraica [ aclarar ] de una relación serial involucra complementos de relaciones: Para cualquier relación S , si R es serial entonces, dónde denota el complemento de . Esta caracterización se deriva de la distribución de la composición sobre la unión. [5] : 57 [8]
- Una relación serial R contrasta con la relación vacía ∅ en el sentido de que tiempo [5] : 63
Otras caracterizaciones [ aclarar ] utilizan la relación de identidad y la relación inversa de :
Referencias
- ^ B. Russell y AN Whitehead (1910) Principia Mathematica, volumen uno, página 141 de laColección Matemática Históricade la Universidad de Michigan
- ^ Yao, Y. (2004). "Semántica de conjuntos difusos en teoría de conjuntos aproximados". Transacciones en conjuntos aproximados II . Apuntes de conferencias en informática . 3135 . pag. 309. doi : 10.1007 / 978-3-540-27778-1_15 . ISBN 978-3-540-23990-1.
- ^ a b Gunther Schmidt (2011). Matemáticas relacionales . Prensa de la Universidad de Cambridge . doi : 10.1017 / CBO9780511778810 . ISBN 9780511778810. Definición 5.8, página 57.
- ^ James Garson (2013) Modal Logic for Philosophers , capítulo 11: Relaciones entre lógicas modales, figura 11.1 página 220, Cambridge University Press doi : 10.1017 / CBO97811393421117.014
- ^ a b c d Schmidt, Gunther ; Ströhlein, Thomas (6 de diciembre de 2012). Relaciones y gráficos: matemáticas discretas para informáticos . Springer Science & Business Media . pag. 54. ISBN 978-3-642-77968-8.
- ^ Si S ≠ ∅ y R es serial, entonces implica , por eso , por eso . La propiedad sigue por contraposición.
- ^ Dado que R es serial, la fórmula en el conjunto de comprensión de P es verdadera para cada x y z , entonces.
- ^ Si R es serial, entonces, por eso .
- Jing Tao Yao y Davide Ciucci y Yan Zhang (2015). "Conjuntos rugosos generalizados" . En Janusz Kacprzyk y Witold Pedrycz (ed.). Manual de inteligencia computacional . Saltador. págs. 413–424. ISBN 9783662435052. Aquí: página 416.
- Yao, YY; Wong, SKM (1995). "Generalización de conjuntos aproximados utilizando relaciones entre valores de atributo" (PDF) . Actas de la 2ª Conferencia Conjunta Anual sobre Ciencias de la Información : 30–33..