En topología algebraica , un espacio de Poincaré es un espacio topológico n- dimensional con un elemento distinguido µ de su n- ésimo grupo de homología tal que tomando el producto cap con un elemento del k- ésimo grupo de cohomología produce un isomorfismo al ( n - k ) th grupo de homología. [1] El espacio es esencialmente uno para el que la dualidad de Poincaré es válida; más precisamente, aquel cuyo singular complejo de cadenas forma un complejo de Poincaré con respecto al elemento distinguidoµ .
Por ejemplo, cualquier colector cerrado, orientable y conectado M es un espacio de Poincaré, donde el elemento distinguido es la clase fundamental
Los espacios de Poincaré se utilizan en la teoría de la cirugía para analizar y clasificar variedades. No todo espacio de Poincaré es una variedad, pero la diferencia se puede estudiar, primero teniendo un mapa normal de una variedad y luego a través de la teoría de la obstrucción .
Otros usos
A veces, [2] espacio de Poincaré significa una esfera de homología con un grupo fundamental no trivial , por ejemplo, el espacio dodecaédrico de Poincaré en 3 dimensiones.
Ver también
Referencias
- ^ Rudyak, Yu.B. (2001) [1994], "Espacio de Poincaré" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ^ Edward G. Begle (1942). " Espacios localmente conectados y colectores generalizados ". Revista Estadounidense de Matemáticas . 64 (1): 553–574. doi : 10.2307 / 2371704 . JSTOR 2371704 .