En matemáticas , el sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto de un plano está determinado por una distancia desde un punto de referencia y un ángulo desde una dirección de referencia. El punto de referencia (análogo al origen de un sistema de coordenadas cartesiano ) se llama polo , y el rayo desde el polo en la dirección de referencia es el eje polar . La distancia desde el polo se llama coordenada radial , distancia radial o simplemente radio., y el ángulo se llama coordenada angular , ángulo polar o acimut . [1] La coordenada radial a menudo se denota por r o ρ , y la coordenada angular por φ , θ o t . Los ángulos en notación polar generalmente se expresan en grados o radianes (2 π rad es igual a 360 °).
Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente los conceptos a mediados del siglo XVII, aunque el término actual coordenadas polares se ha atribuido a Gregorio Fontana en el siglo XVIII. La motivación inicial para la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y orbital .
Las coordenadas polares son las más apropiadas en cualquier contexto donde el fenómeno que se está considerando está intrínsecamente ligado a la dirección y la longitud desde un punto central en un plano, como las espirales . Los sistemas físicos planos con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o fenómenos que se originan en un punto central, son a menudo más simples e intuitivos de modelar usando coordenadas polares.
El sistema de coordenadas polares se extiende a tres dimensiones de dos formas: los sistemas de coordenadas cilíndrico y esférico .
Historia
Los conceptos de ángulo y radio ya fueron utilizados por los pueblos antiguos del primer milenio antes de Cristo . El astrónomo y astrólogo griego Hiparco (190–120 a. C.) creó una tabla de funciones de las cuerdas dando la longitud de la cuerda para cada ángulo, y hay referencias a su uso de coordenadas polares para establecer posiciones estelares. [2] En Sobre espirales , Arquímedes describe la espiral de Arquímedes , una función cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, el trabajo griego no se extendió a un sistema de coordenadas completo.
Desde el siglo VIII d. C. en adelante, los astrónomos desarrollaron métodos para aproximar y calcular la dirección a La Meca ( qibla ) —y su distancia— desde cualquier lugar de la Tierra. [3] Desde el siglo IX en adelante, estaban usando trigonometría esférica y métodos de proyección de mapas para determinar estas cantidades con precisión. El cálculo es esencialmente la conversión de las coordenadas polares ecuatoriales de La Meca (es decir, su longitud y latitud ) a sus coordenadas polares (es decir, su qibla y distancia) en relación con un sistema cuyo meridiano de referencia es el gran círculo a través de la ubicación dada y los polos de la Tierra. y cuyo eje polar es la línea que pasa por la ubicación y su punto antípoda . [4]
Hay varios relatos de la introducción de coordenadas polares como parte de un sistema de coordenadas formal. La historia completa del tema se describe en El origen de las coordenadas polares del profesor de Harvard Julian Lowell Coolidge . [5] Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron independientemente los conceptos a mediados del siglo XVII. Saint-Vincent escribió sobre ellos en privado en 1625 y publicó su trabajo en 1647, mientras que Cavalieri publicó el suyo en 1635 con una versión corregida que apareció en 1653. Cavalieri utilizó por primera vez coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral de Arquímedes . Posteriormente, Blaise Pascal utilizó coordenadas polares para calcular la longitud de los arcos parabólicos .
En Method of Fluxions (escrito en 1671, publicado en 1736), Sir Isaac Newton examinó las transformaciones entre las coordenadas polares, a las que se refirió como la "Séptima manera; para espirales", y otros nueve sistemas de coordenadas. [6] En la revista Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli utilizó un sistema con un punto en una línea, llamado polo y eje polar, respectivamente. Las coordenadas se especificaron por la distancia desde el polo y el ángulo desde el eje polar . El trabajo de Bernoulli se extendió hasta encontrar el radio de curvatura de las curvas expresadas en estas coordenadas.
El término actual coordenadas polares se ha atribuido a Gregorio Fontana y fue utilizado por escritores italianos del siglo XVIII. El término apareció en Inglés en George Peacock 's traducción de 1816 Lacroix ' s Cálculo Diferencial e Integral . [7] [8] Alexis Clairaut fue el primero en pensar en coordenadas polares en tres dimensiones, y Leonhard Euler fue el primero en desarrollarlas. [5]
Convenciones
La coordenada radial a menudo se denota por r o ρ , y la coordenada angular por φ , θ o t . La coordenada angular se especifica como φ en la norma ISO 31-11 . Sin embargo, en la literatura matemática, el ángulo a menudo se denota por θ en lugar de φ .
Los ángulos en notación polar generalmente se expresan en grados o radianes (2 π rad es igual a 360 °). Los títulos se utilizan tradicionalmente en navegación , topografía y muchas disciplinas aplicadas, mientras que los radianes son más comunes en matemáticas y física matemática . [9]
El ángulo φ está definido para comenzar en 0 ° desde una dirección de referencia y aumentar para las rotaciones en la orientación en sentido antihorario (ccw) o en sentido horario (cw) . Por ejemplo, en matemáticas, la dirección de referencia generalmente se dibuja como un rayo desde el polo horizontalmente hacia la derecha, y el ángulo polar aumenta a ángulos positivos para las rotaciones en sentido antihorario, mientras que en la navegación ( rumbo , rumbo ) se dibuja el rumbo 0 °. verticalmente hacia arriba y el ángulo aumenta para las rotaciones de derecha a izquierda. Los ángulos polares disminuyen hacia valores negativos para rotaciones en las orientaciones respectivamente opuestas.
Unicidad de las coordenadas polares
Agregar cualquier número de vueltas completas (360 °) a la coordenada angular no cambia la dirección correspondiente. De manera similar, cualquier coordenada polar es idéntica a la coordenada con el componente radial negativo y la dirección opuesta (sumando 180 ° al ángulo polar). Por lo tanto, el mismo punto ( r , φ ) se puede expresar con un número infinito de coordenadas polares diferentes ( r , φ + n × 360 °) y (- r , φ + 180 ° + n × 360 °) = (- r , φ + (2 n + 1) × 180 °) , donde n es un número entero arbitrario . [10] Además, el polo en sí se puede expresar como (0, φ ) para cualquier ángulo φ . [11]
Cuando se necesita una representación única para cualquier punto además del polo, es habitual limitar r a números positivos ( r > 0 ) y φ al intervalo [0, 360 °) o al intervalo (−180 °, 180 °] , que en radianes son [0, 2π) o (−π, π] . [12] Otra convención, en referencia al codominio habitual de la función arctan , es permitir valores reales distintos de cero arbitrarios del componente radial y restringir el ángulo polar a (-90 °, 90 °] . En todos los casos se debe elegir un acimut único para el polo ( r = 0), por ejemplo, φ = 0.
Conversión entre coordenadas polares y cartesianas
Las coordenadas polares r y φ se pueden convertir a las coordenadas cartesianas x e y mediante el uso de la funciones trigonométricas seno y el coseno:
Las coordenadas cartesianas x e y pueden ser convertidos en coordenadas polares r y φ con r ≥ 0 y φ en el intervalo (- π , π ] por: [13]
- (como en el teorema de Pitágoras o la norma euclidiana ), y
donde atan2 es una variación común de la función arcotangente definida como
Si r se calcula primero como se indicó anteriormente, entonces esta fórmula para φ puede expresarse de manera un poco más simple usando la función de arcocoseno estándar :
El valor de φ anterior es el valor principal de la función de número complejo arg aplicada ax + iy . Se puede obtener un ángulo en el rango [0, 2 π ) sumando 2 π al valor en caso de que sea negativo (en otras palabras, cuando y es negativo).
Ecuación polar de una curva
La ecuación que define una curva algebraica expresada en coordenadas polares se conoce como ecuación polar . En muchos casos, dicha ecuación se puede especificar simplemente definiendo r como una función de φ . La curva resultante entonces consta de puntos de la forma ( r ( φ ), φ ) y se puede considerar como la gráfica de la función polar r . Tenga en cuenta que, a diferencia de las coordenadas cartesianas, la variable independiente φ es la segunda entrada en el par ordenado.
Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar r . Si r (- φ ) = r ( φ ) la curva será simétrica con respecto al rayo horizontal (0 ° / 180 °), si r ( π - φ ) = r ( φ ) será simétrica con respecto a la vertical (90 °) / 270 °) rayo, y si r ( φ - α) = r ( φ ) será rotacionalmente simétrico por α en sentido horario y antihorario alrededor del polo.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polares, muchas curvas pueden describirse mediante una ecuación polar bastante simple, mientras que su forma cartesiana es mucho más compleja. Entre las más conocidas de estas curvas se encuentran la rosa polar , la espiral de Arquímedes , la lemniscata , la limaçon y la cardioide .
Para el círculo, la línea y la rosa polar de abajo, se entiende que no hay restricciones en el dominio y rango de la curva.
Circulo
La ecuación general para un círculo con un centro en ( r 0 ,) y el radio a es
Esto se puede simplificar de varias formas, para ajustarse a casos más específicos, como la ecuación
para un círculo con un centro en el polo y radio a . [14]
Cuando r 0 = a , o cuando el origen se encuentra en el círculo, la ecuación se convierte en
En el caso general, la ecuación se puede resolver para r , dando
la solución con un signo menos delante de la raíz cuadrada da la misma curva.
Línea
Las líneas radiales (las que atraviesan el polo) están representadas por la ecuación
dónde es el ángulo de elevación de la línea; es decir,, dónde es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial perpendicularmente en el punto tiene la ecuación
Se indique lo contrario es el punto en el que la tangente se cruza con el círculo imaginario de radio
Rosa polar
Una rosa polar es una curva matemática que parece una flor de pétalos y que se puede expresar como una simple ecuación polar,
para cualquier constante γ 0 (incluido 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones producirán una rosa de k pétalos si k es impar , o una rosa de 2 k pétalos si k es par. Si k es racional pero no un número entero, se puede formar una forma de rosa pero con pétalos superpuestos. Tenga en cuenta que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa directamente la longitud o amplitud de los pétalos de la rosa, mientras que k se relaciona con su frecuencia espacial. La constante γ 0 se puede considerar como un ángulo de fase.
Espiral de Arquímedes
La espiral de Arquímedes es una espiral que fue descubierta por Arquímedes , que también se puede expresar como una simple ecuación polar. Está representado por la ecuación
Cambiar el parámetro a hará girar la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, que para una espiral dada es siempre constante. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para φ > 0 y otro para φ <0 . Los dos brazos están conectados suavemente al poste. Si a = 0 , tomar la imagen especular de un brazo a través de la línea de 90 ° / 270 ° cederá el otro brazo. Esta curva es notable como una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas , que se describirá en un tratado matemático, y como un excelente ejemplo de una curva que se define mejor mediante una ecuación polar.
Secciones cónicas
Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en algún lugar del rayo de 0 ° (de modo que el eje mayor de la cónica se encuentre a lo largo del eje polar) viene dada por:
donde e es la excentricidad yes el recto semilato (la distancia perpendicular en un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1 , esta ecuación define una hipérbola ; si e = 1 , define una parábola ; y si e <1 , define una elipse . El caso especial e = 0 de este último da como resultado un círculo del radio.
Intersección de dos curvas polares
Las gráficas de dos funciones polares y tener posibles intersecciones de tres tipos:
- En el origen si las ecuaciones y tener al menos una solución cada uno.
- Todos los puntos dónde son las soluciones de la ecuación dónde es un número entero.
- Todos los puntos dónde son las soluciones de la ecuación dónde es un número entero.
Números complejos
Cada número complejo se puede representar como un punto en el plano complejo y, por lo tanto, se puede expresar especificando las coordenadas cartesianas del punto (llamadas forma rectangular o cartesiana) o las coordenadas polares del punto (llamadas forma polar). El número complejo z se puede representar en forma rectangular como
donde i es la unidad imaginaria , o alternativamente se puede escribir en forma polar (a través de las fórmulas de conversión dadas anteriormente ) como
y a partir de ahí como
donde e es el número de Euler , que son equivalentes como se muestra en la fórmula de Euler . [15] (Tenga en cuenta que esta fórmula, como todas las que involucran exponenciales de ángulos, asume que el ángulo φ se expresa en radianes ). Para convertir entre las formas rectangular y polar de un número complejo, se pueden usar las fórmulas de conversión dadas anteriormente .
Para las operaciones de multiplicación , división , exponenciación y extracción de raíces de números complejos, generalmente es mucho más sencillo trabajar con números complejos expresados en forma polar en lugar de en forma rectangular. De las leyes de la exponenciación:
- Multiplicación
- División
- Exponenciación ( fórmula de De Moivre )
- Extracción de raíz (raíz principal)
Cálculo
El cálculo se puede aplicar a ecuaciones expresadas en coordenadas polares. [16] [17]
La coordenada angular φ se expresa en radianes a lo largo de esta sección, que es la elección convencional al hacer cálculo.
Calculo diferencial
Usando x = r cos φ y y = r sin φ , se puede derivar una relación entre derivadas en coordenadas cartesianas y polares. Para una función dada, u ( x , y ), se deduce que (calculando sus derivadas totales )
o
Por tanto, tenemos las siguientes fórmulas:
Usando la transformación de coordenadas inversas, se puede derivar una relación recíproca análoga entre las derivadas. Dada una función u ( r , φ ), se sigue que
o
Por tanto, tenemos las siguientes fórmulas:
Para encontrar la pendiente cartesiana de la recta tangente a una curva polar r ( φ ) en cualquier punto dado, la curva se expresa primero como un sistema de ecuaciones paramétricas .
Diferenciar ambas ecuaciones con respecto a φ produce
Al dividir la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la línea tangente a la curva en el punto ( r ( φ ), φ ) :
Para otras fórmulas útiles que incluyen divergencia, gradiente y laplaciano en coordenadas polares, consulte coordenadas curvilíneas .
Cálculo integral (longitud de arco)
La longitud del arco (longitud de un segmento de línea) definida por una función polar se encuentra mediante la integración sobre la curva r ( φ ). Sea L esta longitud a lo largo de la curva que comienza desde los puntos A hasta el punto B , donde estos puntos corresponden a φ = a y φ = b de manera que 0 < b - a <2 π . La longitud de L viene dada por la siguiente integral
Cálculo integral (área)
Deje que R denota la región encerrada por una curva r ( φ ) y los rayos φ = una y φ = b , en donde 0 < b - un ≤ 2 π . Entonces, el área de R es
Este resultado se puede encontrar de la siguiente manera. Primero, el intervalo [ a , b ] se divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo arbitrario. Por tanto, Δ φ , la medida del ángulo de cada subintervalo, es igual ab - a (la medida del ángulo total del intervalo), dividida por n , el número de subintervalos. Para cada subintervalo i = 1, 2, ..., n , sea φ i el punto medio del subintervalo y construya un sector con el centro en el polo, radio r ( φ i ), ángulo central Δ φ y longitud del arco r ( φ i ) Δ φ . El área de cada sector construido es, por tanto, igual a
Por tanto, el área total de todos los sectores es
A medida que aumenta el número de subintervalos n , la aproximación del área continúa mejorando. En el límite cuando n → ∞ , la suma se convierte en la suma de Riemann para la integral anterior.
Un dispositivo mecánico que las integrales de área computa es el planímetro , que mide el área de figuras planas mediante el trazado a cabo: esta integración repeticiones en coordenadas polares mediante la adición de una articulación de modo que los 2-elemento de vinculación efectos teorema de Green , la conversión de la integral polar cuadrática para una integral lineal.
Generalización
Usando coordenadas cartesianas , un elemento de área infinitesimal se puede calcular como dA = dx dy . La regla de sustitución para integrales múltiples establece que, cuando se usan otras coordenadas, se debe considerar el determinante jacobiano de la fórmula de conversión de coordenadas:
Por lo tanto, un elemento de área en coordenadas polares se puede escribir como
Ahora, una función, que se da en coordenadas polares, se puede integrar de la siguiente manera:
Aquí, R es la misma región que anteriormente, a saber, la región encerrada por una curva r ( φ ) y los rayos φ = una y φ = b . La fórmula para el área de R mencionada anteriormente se obtiene tomando f idénticamente igual a 1.
Una aplicación más sorprendente de este resultado produce la integral gaussiana , aquí denotada K :
Cálculo vectorial
El cálculo vectorial también se puede aplicar a coordenadas polares. Para un movimiento plano, dejeser el vector de posición ( r cos ( φ ), r sen ( φ )) , con r y φ dependiendo del tiempo t .
Definimos los vectores unitarios
en la dirección de y
en el plano del movimiento perpendicular a la dirección radial, donde es un vector unitario normal al plano del movimiento.
Luego
Términos centrífugos y Coriolis
El termino a veces se denomina aceleración centrípeta , y el términocomo la aceleración de Coriolis . Por ejemplo, vea Shankar. [18]
Nota: estos términos, que aparecen cuando la aceleración se expresa en coordenadas polares, son una consecuencia matemática de la diferenciación; aparecen siempre que se utilizan coordenadas polares. En la dinámica de partículas planas, estas aceleraciones aparecen cuando se establece la segunda ley de movimiento de Newton en un marco de referencia giratorio. Aquí, estos términos adicionales se denominan a menudo fuerzas ficticias ; ficticios porque son simplemente el resultado de un cambio en el marco de coordenadas. Eso no significa que no existan, más bien existen solo en el marco giratorio.
Marco co-giratorio
Para una partícula en movimiento plano, un enfoque para atribuir significado físico a estos términos se basa en el concepto de un marco de referencia co-rotativo instantáneo . [19] Para definir un marco co-rotativo, primero se selecciona un origen a partir del cual se define la distancia r ( t ) a la partícula. Se establece un eje de rotación perpendicular al plano de movimiento de la partícula y que pasa por este origen. Luego, en el momento t seleccionado , la tasa de rotación del marco co-rotativo Ω se hace coincidir con la tasa de rotación de la partícula alrededor de este eje, dφ / dt . A continuación, los términos de la aceleración en el marco de inercia están relacionados con los del marco de co-rotación. Deje que la ubicación de la partícula en el marco inercial sea ( r ( t ), φ ( t )), y en el marco co-rotativo sea ( r (t), φ ′ (t) ). Debido a que el marco de co-rotación gira a la misma velocidad que la partícula, dφ ′ / dt = 0. La fuerza centrífuga ficticia en el marco de co-rotación es mrΩ 2 , radialmente hacia afuera. La velocidad de la partícula en el marco de co-rotación también es radialmente hacia afuera, porque dφ ′ / dt = 0. La fuerza de Coriolis ficticia por lo tanto tiene un valor de -2 m ( dr / dt ) Ω, apuntando en la dirección de aumentar φ solamente . Por lo tanto, usando estas fuerzas en la segunda ley de Newton encontramos:
donde los puntos representan diferenciaciones de tiempo, y F es la fuerza real neta (a diferencia de las fuerzas ficticias). En términos de componentes, esta ecuación vectorial se convierte en:
que se puede comparar con las ecuaciones para el marco inercial:
Esta comparación, más el reconocimiento de que por la definición del marco de co-rotación en el tiempo t tiene una tasa de rotación Ω = dφ / dt , muestra que podemos interpretar los términos en la aceleración (multiplicado por la masa de la partícula) como se encuentra en el marco inercial como el negativo de las fuerzas centrífugas y de Coriolis que se verían en el marco co-rotativo instantáneo no inercial.
Para el movimiento general de una partícula (a diferencia del movimiento circular simple), las fuerzas centrífugas y de Coriolis en el marco de referencia de una partícula comúnmente se refieren al círculo osculador instantáneo de su movimiento, no a un centro fijo de coordenadas polares. Para más detalles, vea fuerza centrípeta .
Geometría diferencial
En la terminología moderna de geometría diferencial , las coordenadas polares proporcionan gráficos de coordenadas para la variedad diferenciable ℝ 2 \ {(0,0)}, el plano menos el origen. En estas coordenadas, el tensor métrico euclidiano viene dado por
Extensiones en 3D
El sistema de coordenadas polares se extiende a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes, el sistema de coordenadas cilíndrico y esférico .
Aplicaciones
Las coordenadas polares son bidimensionales y, por lo tanto, solo se pueden usar cuando las posiciones de los puntos se encuentran en un solo plano bidimensional. Son más apropiados en cualquier contexto donde el fenómeno que se está considerando está intrínsecamente ligado a la dirección y la longitud desde un punto central. Por ejemplo, los ejemplos anteriores muestran cómo las ecuaciones polares elementales son suficientes para definir curvas, como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en el sistema de coordenadas cartesianas sería mucho más compleja. Además, muchos sistemas físicos, como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central o con fenómenos que se originan en un punto central, son más simples e intuitivos de modelar utilizando coordenadas polares. La motivación inicial para la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y orbital .
Las coordenadas polares se utilizan a menudo en la navegación, ya que el destino o la dirección de viaje se pueden dar como un ángulo y la distancia desde el objeto que se está considerando. Por ejemplo, los aviones utilizan una versión ligeramente modificada de las coordenadas polares para la navegación. En este sistema, el que se utiliza generalmente para cualquier tipo de navegación, el rayo de 0 ° generalmente se denomina rumbo 360 y los ángulos continúan en el sentido de las agujas del reloj , en lugar de en el sentido contrario, como en el sistema matemático. El rumbo 360 corresponde al norte magnético , mientras que los rumbos 90, 180 y 270 corresponden al este, sur y oeste magnéticos, respectivamente. [20] Por lo tanto, una aeronave que viaje 5 millas náuticas hacia el este viajará 5 unidades en el rumbo 90 (léase cero-nueve-cero por el control de tráfico aéreo ). [21]
Modelado
Los sistemas que muestran simetría radial proporcionan escenarios naturales para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un excelente ejemplo de este uso es la ecuación de flujo de agua subterránea cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. Los sistemas con fuerza radial también son buenos candidatos para el uso del sistema de coordenadas polares. Estos sistemas incluyen campos gravitacionales , que obedecen a la ley del cuadrado inverso , así como sistemas con fuentes puntuales , como antenas de radio .
Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo, un micrófono Es patrón de captación ilustra su respuesta proporcional a un sonido entrante de una dirección dada, y estos patrones se puede representar como curvas polares. La curva de un micrófono cardioide estándar, el micrófono unidireccional más común, se puede representar como r = 0.5 + 0.5sin ( ϕ ) en su frecuencia de diseño objetivo. [22] El patrón cambia hacia la omnidireccionalidad en frecuencias más bajas.
Ver también
- Coordenadas curvilíneas
- Lista de transformaciones de coordenadas canónicas
- Coordenadas logpolares
- Descomposición polar
- Circulo unitario
Referencias
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enlaces externos
- "Coordenadas polares" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Software de gráficos en Curlie
- Convertidor de coordenadas: convierte entre coordenadas polares, cartesianas y esféricas
- Demostración dinámica del sistema de coordenadas polares