- Nota: El momento polar del área no debe confundirse con el momento de inercia , que caracteriza la aceleración angular de un objeto debido a un par .
El momento polar de inercia , también conocido como segundo momento polar de área , es una cantidad que se utiliza para describir la resistencia a la deformación torsional ( deflexión ), en objetos cilíndricos (o segmentos de objeto cilíndrico) con una sección transversal invariante y sin deformaciones o deformaciones significativas. deformación fuera del plano. [1] Es un constituyente del segundo momento de área , vinculado a través del teorema del eje perpendicular . Donde el segundo momento plano del área describe la resistencia de un objeto a la deflexión ( flexión ) cuando se somete a una fuerza aplicada a un planoparalelo al eje central, el segundo momento polar de área describe la resistencia de un objeto a la deflexión cuando se somete a un momento aplicado en un plano perpendicular al eje central del objeto (es decir, paralelo a la sección transversal). Similar a los cálculos del segundo momento plano del área (,, y ), el segundo momento polar del área a menudo se denota como. Si bien varios libros de texto de ingeniería y publicaciones académicas también lo denotan como o , se debe prestar especial atención a esta designación para que no se confunda con la constante de torsión ,, utilizado para objetos no cilíndricos.
En pocas palabras, el momento polar de inercia es la resistencia de un eje o viga a deformarse por torsión, en función de su forma. La rigidez proviene únicamente del área de la sección transversal del objeto y no depende de la composición del material ni del módulo de corte . Cuanto mayor sea la magnitud del momento polar de inercia, mayor será la resistencia a la torsión del objeto.
Definición
- Nota: Si bien se ha vuelto común encontrar el término momentos de inercia para describir los segundos momentos de área polares y planos , esto es principalmente una construcción de campos de ingeniería . El término momento de inercia , dentro de física y matemáticas campos, es estrictamente la masa momento de inercia, o segundo momento de la masa , que se utiliza para describir la resistencia de un objeto masivo para movimiento de rotación, no su resistencia a la deformación torsional. Mientras que las polares y planas segundos momentos de inercia están integradas sobre todos los elementos infinitesimales de una determinada área en alguna sección transversal de dos dimensiones, la masa momento de inercia está integrado sobre todos los elementos infinitesimales de masa en un espacio tridimensional ocupada por un objeto. En pocas palabras, las polares y planas segundos momentos de inercia son una indicación de la rigidez y la masa momento de inercia es la resistencia al movimiento de rotación de un objeto masivo.
La ecuación que describe el momento polar de inercia es una integral múltiple sobre el área de la sección transversal,, del objeto.
dónde es la distancia al elemento .
Sustituyendo el y componentes, usando el teorema de Pitágoras :
Dados los segundos momentos planos de las ecuaciones de área, donde:
Se muestra que el momento polar de inercia se puede describir como la suma de los y momentos planos de inercia, y
Esto también se muestra en el teorema del eje perpendicular . [2] Para objetos que tienen simetría rotacional [3] , como un cilindro o un tubo hueco, la ecuación se puede simplificar a:
- o
Para una sección circular con radio :
Unidad
El SI unidad para momento polar de inercia , como el momento de inercia del área , es metros a la cuarta potencia ( m 4 ), y pulgadas a la cuarta potencia ( en 4 ) en unidades de EE.UU. habituales y unidades imperiales .
Limitaciones
El momento de inercia polar es insuficiente para analizar vigas y ejes con secciones transversales no circulares, debido a su tendencia a deformarse cuando se retuercen, provocando deformaciones fuera del plano. En tales casos, se debe sustituir una constante de torsión , donde se incluye una constante de deformación apropiada para compensar el efecto de alabeo. Dentro de esto, hay artículos que diferencian entre el momento polar de inercia ,, y la constante de torsión ,, ya no usa para describir el momento polar de inercia. [4]
En objetos con una variación significativa de la sección transversal (a lo largo del eje del par aplicado), que no se pueden analizar en segmentos, puede ser necesario utilizar un enfoque más complejo. Ver elasticidad 3-D .
Solicitud
Aunque el momento de inercia polar se utiliza con mayor frecuencia para calcular el desplazamiento angular de un objeto sometido a un momento ( par ) aplicado en paralelo a la sección transversal, debe tenerse en cuenta que el valor de rigidez proporcionado no tiene ninguna relación con la Resistencia a la torsión proporcionada a un objeto en función de sus materiales constituyentes. La rigidez proporcionada por el material de un objeto es una característica de su módulo de corte ,. Combinando estas dos características con la longitud del eje,, se puede calcular la deflexión angular de un eje, , debido al par aplicado, :
Como se muestra, cuanto mayor sea el módulo de corte del material y el momento polar del área (es decir, mayor área de la sección transversal), mayor será la resistencia a la deflexión por torsión.
El momento polar del área aparece en las fórmulas que describen el esfuerzo de torsión y el desplazamiento angular.
Esfuerzos torsionales:
Dónde es el esfuerzo cortante torsional, es el par aplicado, es la distancia desde el eje central, y es el momento polar del área.
Nota: En un eje circular, el esfuerzo cortante es máximo en la superficie del eje.
Cálculo de muestra
Cálculo del radio del eje de la turbina de vapor para un turboset:
Supuestos:
- La potencia transportada por el eje es de 1000 MW ; esto es típico de una gran central nuclear.
- La tensión de fluencia del acero utilizado para hacer el eje ( τ fluencia ) es: 250 × 10 6 N / m 2 .
- La electricidad tiene una frecuencia de 50 Hz ; esta es la frecuencia típica en Europa. En América del Norte, la frecuencia es de 60 Hz. Esto supone que existe una correlación de 1: 1 entre la velocidad de rotación de la turbina y la frecuencia de la red eléctrica.
La frecuencia angular se puede calcular con la siguiente fórmula:
El par que transporta el eje está relacionado con la potencia mediante la siguiente ecuación:
Por tanto, la frecuencia angular es 314,16 rad / sy el par de torsión 3,1831 × 10 6 N · m .
El par máximo es:
Tras la sustitución del momento polar de inercia se obtiene la siguiente expresión:
El radio es r = 0.200 m = 200 mm, o un diámetro de 400 mm. Si se suma un factor de seguridad de 5 y se vuelve a calcular el radio con el esfuerzo admisible igual a τ adm = τ rendimiento / 5 el resultado es un radio de 0.343 m, o un diámetro de 690 mm, el tamaño aproximado de un Eje de turboset en una planta de energía nuclear.
Comparación de momentos de inercia polares y de masas
Cilindro hueco
Momento polar de inercia:
Momento de inercia de masa:
Cilindro macizo Momento de inercia polar
Momento de inercia de masa
dónde:
- es el diámetro interior en metros {m}
- es el diámetro exterior en metros {m}
- es el momento de inercia de la masa en kg · m 2
- es el momento polar de inercia en metros elevado a la cuarta potencia {m ^ 4}
- es la longitud del cilindro en metros {m}
- es la masa específica en kg / m 3
Ver también
- Constante de torsión
- Muelle de torsión
- Barra de torsión
- Momento de inercia del área
- Módulo de corte
- Lista de segundos momentos del área
Referencias
- ^ Ugural AC, Fenster SK. Fuerza avanzada y elasticidad aplicada. 3ª Ed. Prentice-Hall Inc. Englewood Cliffs, Nueva Jersey. 1995. ISBN 0-13-137589-X .
- ^ "Momento de inercia; Definición con ejemplos" . www.efunda.com .
- ^ Obregón, Joaquín (2012). Simmetría mecánica . Casa de autor. ISBN 978-1-4772-3372-6.
- ^ galtor. "¿Cuál es la diferencia entre el momento polar de inercia, IPIP y la constante de torsión, JTJT de una sección transversal?" .
enlaces externos
- Torsión de ejes - engineeringtoolbox.com
- Propiedades elásticas y módulo joven para algunos materiales - engineeringtoolbox.com
- Base de datos de propiedades de materiales [ enlace muerto permanente ] - matweb.com