Polarización de una forma algebraica

En matemáticas , en particular en álgebra , la polarización es una técnica para expresar un polinomio homogéneo de una manera más simple al unir más variables. Específicamente, dado un polinomio homogéneo, la polarización produce una forma multilineal a partir de la cual se puede recuperar el polinomio original evaluando a lo largo de una cierta diagonal.

Aunque la técnica es engañosamente simple, tiene aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas abstractas: en particular, a la geometría algebraica , la teoría invariante y la teoría de la representación . La polarización y las técnicas relacionadas forman la base de la teoría invariante de Weyl .

La técnica

Las ideas fundamentales son las siguientes. Sea f ( u ) un polinomio en n variables u = ( u ₁ , u ₂ , ..., u _n ). Suponga que f es homogénea de grado d , lo que significa que

f ( t u ) = t ^d f ( u ) para todo t .

Sea u ⁽¹⁾ , u ⁽²⁾ , ..., u ^{( d )} una colección de indeterminados con u ^{( i )} = ( u ₁ ^{( i )} , u ₂ ^{( i )} , ..., u _n ^{( i )} ), por lo que hay dn variables en total. La forma polar de f es un polinomio

F ( u ⁽¹⁾ , u ⁽²⁾ , ..., u ^{( d )} )

que es lineal por separado en cada u ^{( i )} (es decir, F es multilineal), simétrica en la u ^{( i )} , y tal que

F ( u , u , ..., u ) = f ( u ).

La forma polar de f viene dada por la siguiente construcción

${\displaystyle F({\mathbf {u} }^{(1)},\dots ,{\mathbf {u} }^{(d)})={\frac {1}{d!}}{\frac {\partial }{\partial \lambda _{1}}}\dots {\frac {\partial }{\partial \lambda _{d}}}f(\lambda _{1}{\mathbf {u} }^{(1)}+\dots +\lambda _{d}{\mathbf {u} }^{(d)})|_{\lambda =0}.}$

En otras palabras, F es un múltiplo constante del coeficiente de λ ₁ λ ₂ ... λ _d en la expansión de f ( λ ₁ u ⁽¹⁾ + ... + λ _d u ^{( d )} ).

Ejemplos

• Suponga que x = ( x , y ) yf ( x ) es la forma cuadrática

${\displaystyle f({\mathbf {x} })=x^{2}+3xy+2y^{2}.}$

Entonces la polarización de f es una función en x ⁽¹⁾ = ( x ⁽¹⁾ , y ⁽¹⁾ ) y x ⁽²⁾ = ( x ⁽²⁾ , y ⁽²⁾ ) dada por

${\displaystyle F({\mathbf {x} }^{(1)},{\mathbf {x} }^{(2)})=x^{(1)}x^{(2)}+{\frac {3}{2}}x^{(2)}y^{(1)}+{\frac {3}{2}}x^{(1)}y^{(2)}+2y^{(1)}y^{(2)}.}$

• De manera más general, si f es cualquier forma cuadrática, entonces la polarización de f concuerda con la conclusión de la identidad de polarización .
• Un ejemplo cúbico. Sea f ( x , y ) = x ³ + 2 xy ² . Entonces la polarización de f está dada por

${\displaystyle F(x^{(1)},y^{(1)},x^{(2)},y^{(2)},x^{(3)},y^{(3)})=x^{(1)}x^{(2)}x^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(1)}y^{(2)}y^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(3)}y^{(1)}y^{(2)}+{\frac {2}{3}}x^{(2)}y^{(3)}y^{(1)}.}$

Detalles y consecuencias matemáticas

La polarización de un polinomio homogéneo de grado d es válida sobre cualquier anillo conmutativo en el que d ! es una unidad. En particular, se mantiene sobre cualquier campo de característica cero o cuya característica sea estrictamente mayor que d .

El isomorfismo de polarización (por grado)

Para simplificar, sea k un campo de característica cero y sea A = k [ x ] el anillo polinómico en n variables sobre k . Entonces A se clasifica por grado , de modo que

${\displaystyle A=\bigoplus _{d}A_{d}.}$

La polarización de formas algebraicas induce entonces un isomorfismo de espacios vectoriales en cada grado.

${\displaystyle A_{d}\cong \operatorname {Sym} ^{d}k^{n}}$

donde Sym ^d es la d -ésima potencia simétrica del espacio n -dimensional k ⁿ .

Estos isomorfismos se pueden expresar independientemente de una base como sigue. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y A es el anillo de funciones polinomiales con valor k en V , clasificadas por grado homogéneo, entonces la polarización produce un isomorfismo

${\displaystyle A_{d}\cong \operatorname {Sym} ^{d}V^{*}.}$

El isomorfismo algebraico

Además, la polarización es compatible con la estructura algebraica en A , de modo que

${\displaystyle A\cong \operatorname {Sym} ^{\cdot }V^{*}}$

donde Sym ^⋅ V ^∗ es el álgebra simétrica completa sobre V ^∗ .

Comentarios

• Para campos de característica positiva p , los isomorfismos anteriores se aplican si las álgebras graduadas están truncadas en el grado p - 1 .
• Existen generalizaciones cuando V es un espacio vectorial topológico de dimensión infinita .

Referencias

• Claudio Procesi (2007) Grupos de mentiras: una aproximación a través de invariantes y representaciones , Springer, ISBN  9780387260402 .