En teoría de números , la conjetura de Polignac fue hecha por Alphonse de Polignac en 1849 y establece: [1]
- Para cualquier número par positivo n , hay infinitos espacios primos de tamaño n . En otras palabras: hay infinitos casos de dos números primos consecutivos con diferencia n . [2]
Aunque la conjetura aún no ha sido probada o refutada para un valor dado de n , en 2013 Zhang Yitang realizó un avance importante, quien demostró que hay infinitas brechas primarias de tamaño n para un valor de n <70.000.000. [3] [4] Más tarde ese año, James Maynard anunció un avance relacionado que demostró que hay infinitas brechas primarias de algún tamaño menor o igual a 600. [5] A partir del 14 de abril de 2014, un año después del anuncio de Zhang , según el wiki del proyecto Polymath , n se ha reducido a 246. [6]Además, asumiendo la conjetura de Elliott-Halberstam y su forma generalizada, la wiki del proyecto Polymath establece que n se ha reducido a 12 y 6, respectivamente. [7]
Para n = 2, es la conjetura de los primos gemelos . Para n = 4, dice que hay infinitos primos primos ( p , p + 4). Para n = 6, dice que hay infinitos números primos sexys ( p , p + 6) sin primos entre p y p + 6.
La conjetura de Dickson generaliza la conjetura de Polignac para cubrir todas las constelaciones principales.
Densidad conjeturada
Dejar porque incluso n es el número de espacios primos de tamaño n por debajo de x .
La primera conjetura de Hardy-Littlewood dice que la densidad asintótica es de forma
donde C n es una función de n , ysignifica que el cociente de dos expresiones tiende a 1 cuando x se acerca al infinito. [8]
C 2 es la constante prima gemela
donde el producto se extiende sobre todos los números primos p ≥ 3.
C n es C 2 multiplicado por un número que depende de los factores primos impares q de n :
Por ejemplo, C 4 = C 2 y C 6 = 2 C 2 . Los primos gemelos tienen la misma densidad conjeturada que los primos primos, y la mitad de la de los primos sexys.
Tenga en cuenta que cada factor primo impar q de n aumenta la densidad conjeturada en comparación con los primos gemelos en un factor de. Un argumento heurístico sigue. Se basa en algunas suposiciones no probadas, por lo que la conclusión sigue siendo una conjetura. La probabilidad de que un primo impar aleatorio q divida a o a + 2 en un par primo gemelo "potencial" aleatorio es, ya que q divide 1 de los q números de a a a + q - 1. Ahora suponga que q divide ny considere un par primo potencial ( a , a + n ). q divide a + n si y solo si q divide a , y la probabilidad de que sea. La probabilidad de que ( a , a + n ) esté libre del factor q , dividida por la probabilidad de que ( a , a + 2 ) esté libre de q , entonces se convierte en dividido por . Esto es igualque se transfiere a la densidad prima conjeturada. En el caso de n = 6, el argumento se simplifica a: Si a es un número aleatorio, entonces 3 tiene una probabilidad de 2/3 de dividir a o a + 2, pero solo una probabilidad de 1/3 de dividir a y a + 6, por lo que el se conjetura que el último par es dos veces más probable que ambos sean primos.
Notas
- ↑ de Polignac, A. (1849). "Recherches nouvelles sur les nombres premiers" [Nueva investigación sobre números primos]. Comptes rendus (en francés). 29 : 397–401.Desde p. 400: "1 er Théorème. Tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières ..." (1 er Teorema. Todo número par es igual a la diferencia de dos números primos consecutivos en un número infinito de maneras … )
- ^ Tattersall, JJ (2005), Teoría de números elemental en nueve capítulos , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-85014-8, pag. 112
- ^ Zhang, Yitang (2014). "Huecos acotados entre números primos". Annals of Mathematics . 179 (3): 1121-1174. doi : 10.4007 / annals.2014.179.3.7 . Señor 3171761 . Zbl 1290.11128 . (requiere suscripción)
- ^ Klarreich, Erica (19 de mayo de 2013). "Matemático desconocido cierra la brecha principal" . Noticias de ciencia de Simons . Consultado el 21 de mayo de 2013 .
- ^ Augereau, Benjamin (15 de enero de 2014). "¿Un viejo acertijo matemático que pronto se resolverá?" . Phys.org . Consultado el 10 de febrero de 2014 .
- ^ "Huecos acotados entre números primos" . Polymath . Consultado el 27 de marzo de 2014 .
- ^ "Huecos acotados entre números primos" . Polymath . Consultado el 21 de febrero de 2014 .
- ^ Bateman, Paul T .; Diamond, Harold G. (2004), Teoría analítica de números , World Scientific, p. 313, ISBN 981-256-080-7, Zbl 1074.11001.
Referencias
- Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers . Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
- Weisstein, Eric W. "Conjetura de Polignac" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Conjetura de k-Tuple" . MathWorld .