En teoría de números , la conjetura de Elliott-Halberstam es una conjetura sobre la distribución de números primos en progresiones aritméticas . Tiene muchas aplicaciones en la teoría de los tamices . Lleva el nombre de Peter DTA Elliott y Heini Halberstam , quienes formularon la conjetura en 1968. [1]
Enunciar la conjetura requiere algo de notación. Dejar, la función de conteo de primos , denota el número de primos menores o iguales que. Sies un número entero positivo yes coprime a, dejamos denotar el número de primos menores o iguales a que son iguales a modulo . El teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas nos dice entonces que
dónde es la función totient de Euler . Si luego definimos la función de error
donde el máximo se apodera de todo coprime a , entonces la conjetura de Elliott-Halberstam es la afirmación de que para cada y existe una constante tal que
para todos .
Esta conjetura fue probada para todos por Enrico Bombieri [2] y AI Vinogradov [3] (el teorema de Bombieri-Vinogradov , a veces conocido simplemente como "teorema de Bombieri"); este resultado ya es bastante útil, siendo una forma promediada de la hipótesis generalizada de Riemann . Se sabe que la conjetura falla en el punto final.. [4]
La conjetura de Elliott-Halberstam tiene varias consecuencias. Uno sorprendente es el resultado anunciado por Dan Goldston , János Pintz y Cem Yıldırım , [5] [6] que muestra (asumiendo esta conjetura) que hay infinitos pares de primos que difieren como máximo en 16. En noviembre de 2013, James Maynard mostró que sujeto a la conjetura de Elliott-Halberstam, se puede mostrar la existencia de infinitos pares de números primos consecutivos que difieren como máximo en 12. [7] En agosto de 2014, el grupo Polymath mostró que sujeto a la conjetura generalizada de Elliott-Halberstam , se puede mostrar la existencia de un número infinito de pares de números primos consecutivos que difieren como máximo en 6. [8] Sin asumir ninguna forma de conjetura, el límite más bajo probado es 246.
Ver también
Notas
- ^ Elliott, Peter DTA; Halberstam, Heini (1970). "Una conjetura en la teoría de los números primos". Simposios Mathematica, vol. IV (INDAM, Roma, 1968/69) . Londres: Academic Press. págs. 59–72. Señor 0276195 .
- ^ Bombieri, Enrico (1965). "En el colador grande". Mathematika . 12 (2): 201–225. doi : 10.1112 / s0025579300005313 . Señor 0197425 .
- ^ Vinogradov, Askold Ivanovich (1965). "La hipótesis de la densidad de la serie L de Dirichlet". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Estera. (en ruso). 29 (4): 903–934. Señor 0197414 .Corrección. ibídem. 30 (1966), páginas 719-720. (Ruso)
- ^ Friedlander, John; Granville, Andrew (1989). "Limitaciones a la equi-distribución de primos I". Annals of Mathematics . 129 (2): 363–382. doi : 10.2307 / 1971450 . JSTOR 1971450 . Señor 0986796 .
- ^ Goldston, DA; Pintz, J .; Yildirim, CY (2005). "Primas en Tuplas I". arXiv : matemáticas.NT / 0508185 .
Goldston, DA; Motohashi, Y .; Pintz, J .; Yildirim, CY (2005). "Existen pequeñas brechas entre los primos". arXiv : matemáticas.NT / 0505300 .
Goldston, DA; Graham, SW; Pintz, J .; Yilidirm, CY (2005). "Pequeños huecos entre primos o casi primos". arXiv : matemáticas.NT / 0506067 . - ^ Soundararajan, Kannan (2007). "Pequeñas brechas entre números primos: el trabajo de Goldston-Pintz-Yıldırım". Toro. Amer. Matemáticas. Soc. 44 (1): 1–18. arXiv : matemáticas / 0605696 . doi : 10.1090 / S0273-0979-06-01142-6 . Señor 2265008 . S2CID 119611838 .
- ^ Maynard, James (2015). "Pequeños huecos entre números primos". Annals of Mathematics . 181 (1): 383–413. arXiv : 1311,4600 . doi : 10.4007 / annals.2015.181.1.7 . Señor 3272929 . S2CID 55175056 .
- ^ DHJ Polymath (2014). "Variantes del tamiz Selberg e intervalos acotados que contienen muchos números primos". Investigación en Ciencias Matemáticas . 1 (12). arXiv : 1407.4897 . doi : 10.1186 / s40687-014-0012-7 . Señor 3373710 . S2CID 119699189 .