En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , una categoría posetal , o categoría delgada , [1] es una categoría cuyos homsets contienen cada uno como máximo un morfismo. Como tal, una categoría posetal equivale a una clase preordenada (o un conjunto preordenado , si sus objetos forman un conjunto ). Como sugiere el nombre, el requisito adicional de que la categoría sea esqueléticase asume a menudo para la definición de "posetal"; en el caso de una categoría que es posetal, ser esquelético equivale al requisito de que los únicos isomorfismos son los morfismos de identidad, de manera equivalente que la clase preordenada satisface la antisimetría y, por tanto, si es un conjunto, es un poset .
Todos los diagramas se desplazan en una categoría postal. Cuando los diagramas conmutativos de una categoría se interpretan como una teoría de ecuaciones tipificada cuyos objetos son los tipos, una categoría posetal codiscreta corresponde a una teoría inconsistente entendida como una que satisface el axioma x = y en todos los tipos.
Viendo una categoría 2 como una categoría enriquecida cuyos objetos hom son categorías, los objetos hom de cualquier extensión de una categoría posetal a una categoría 2 que tienen las mismas celdas 1 son monoides .
Algunas estructuras de la teoría de la celosía se pueden definir como categorías posestales de cierto tipo, generalmente con el supuesto más fuerte de que son esqueléticas. Por ejemplo, bajo esta suposición, un poset puede definirse como una pequeña categoría posetal, un retículo distributivo como una pequeña categoría distributiva posetal , un álgebra de Heyting como una pequeña categoría postal finitamente cocompleta cerrada cartesiana y un álgebra booleana como una pequeña posetal finitamente. cocompleto * -categoría autónoma . A la inversa, las categorías, las categorías distributivas, las categorías cerradas cartesianas finitamente cocompletas y las categorías autónomas * finitamente cocompletas pueden considerarse las respectivas categorías de posets, redes distributivas, álgebras de Heyting y álgebras booleanas.