Espacio vectorial ordenado
En matemáticas , un espacio vectorial ordenado o un espacio vectorial parcialmente ordenado es un espacio vectorial equipado con un orden parcial que es compatible con las operaciones del espacio vectorial.
Dado un espacio vectorial X sobre los números reales R y un preorden ≤ en el conjunto X , el par ( X , ≤) se denomina espacio vectorial preordenado y decimos que el preorden ≤ es compatible con la estructura del espacio vectorial de X y llamamos ≤ un vector de preorden en X si para todo x , y , z en X y λ en R con λ ≥ 0 se satisfacen los siguientes dos axiomas
Si ≤ es un orden parcial compatible con la estructura del espacio vectorial de X , entonces ( X , ≤) se denomina espacio vectorial ordenado y ≤ se denomina orden parcial vectorial en X. Los dos axiomas implican que las traducciones y las homotecias positivas son automorfismos de la estructura de orden y el mapeo x ↦ - x es un isomorfismo a la estructura de orden dual . Los espacios vectoriales ordenados son grupos ordenados bajo su operación de adición. Tenga en cuenta que x ≤y si y solo si - y ≤ - x .
Un subconjunto C de un espacio vectorial X se llama un cono si para todo verdadero r > 0, rC ⊆ C . Un cono se llama puntiagudo si contiene el origen. Un cono de C es convexo si y sólo si C + C ⊆ C . La intersección de cualquier familia de conos no vacíos (resp. Conos convexos) es nuevamente un cono (resp. Cono convexo); lo mismo ocurre con la unión de una familia de conos en aumento ( subconjunto incluido ) (respectivamente conos convexos). Un cono Cen un espacio vectorial se dice que X se genera si X = C - C. [1] Un cono positivo se genera si y solo si es un conjunto dirigido por debajo de ≤.
Dado un espacio vectorial preordenado X , el subconjunto X + de todos los elementos x en ( X , ≤) que satisfacen x ≥ 0 es un cono convexo puntiagudo con vértice 0 (es decir, contiene 0) llamado cono positivo de X y denotado por . Los elementos del cono positivo se llaman positivos . Si x y y son elementos de un espacio vectorial preordered ( X , ≤), entonces x ≤ y si y sólo si y - x ∈ X +. Dado cualquier cono convexo puntiagudo C con vértice 0, se puede definir un preorden ≤ en X que sea compatible con la estructura del espacio vectorial de X declarando para todo x e y en X , que x ≤ y si y solo si y - x ∈ C ; el cono positivo de este espacio vectorial preordenado resultante es C . Por tanto, existe una correspondencia de uno-a-uno entre los conos convexos puntiagudos con vértice 0 y el vector de pre-ordenes en X . [1] Si X está preordenado, entonces podemos formar unrelación de equivalencia en X definiendo x es equivalente ay si y solo si x ≤ y e y ≤ x ; si N es la clase de equivalencia que contiene el origen, entonces N es un subespacio vectorial de X y X / N es un espacio vectorial ordenado bajo la relación: A ≤ B si y solo existe a en A y b en B tal que a ≤ b. [1]
Un subconjunto de C de un espacio vectorial X se llama cono propio si es un cono convexo de vértice 0 que satisface C ∩ (- C ) = {0}. Explícitamente, C es un cono propio si (1) C + C ⊆ C , (2) rC ⊆ C para todo r > 0, y (3) C ∩ (- C ) = {0}. [2] La intersección de cualquier familia no vacía de conos propios es de nuevo un cono propio. Cada cono C propio en un espacio vectorial real induce un orden en el espacio vectorial definiendo x ≤y si y sólo si y - x ∈ C , y además, el cono positivo de este espacio vectorial ordenado será C . Por lo tanto, existe una correspondencia de uno-a-uno entre los conos convexos adecuados de X y las órdenes parciales del vector en X .
