En álgebra abstracta , un grupo parcialmente ordenado es un grupo ( G , +) equipado con un orden parcial "≤" que es invariante en la traducción ; en otras palabras, "≤" tiene la propiedad de que, para todos un , b , y g en G , si un ≤ b entonces un + g ≤ b + g y g + un ≤ g + b .
Un elemento x de G se llama positivo si 0 ≤ x . El conjunto de elementos 0 ≤ x menudo se denota con G + , y se llama el cono positivo de G .
Por invariancia de traslación, tenemos a ≤ b si y solo si 0 ≤ - a + b . Entonces podemos reducir el orden parcial a una propiedad monádica: a ≤ b si y solo si - a + b ∈ G + .
Para el grupo general G , la existencia de un cono positivo especifica una orden en G . Un grupo G es parcialmente ordenable si y solo si existe un subconjunto H (que es G + ) de G tal que:
- 0 ∈ H
- si a ∈ H y b ∈ H entonces a + b ∈ H
- si a ∈ H entonces - x + a + x ∈ H para cada x de G
- si a ∈ H y - a ∈ H entonces a = 0
Se dice que un grupo G parcialmente ordenado con cono positivo G + no está perforado si n · g ∈ G + para algún número entero positivo n implica g ∈ G + . No estar perforado significa que no hay "espacio" en el cono positivo G + .
Si el orden en el grupo es un orden lineal , entonces se dice que es un grupo ordenado linealmente . Si el orden en el grupo es un orden de celosía , es decir, dos elementos cualesquiera tienen un límite superior mínimo, entonces es un grupo ordenado en celosía (en breve , grupo l , aunque normalmente compuesto con un script l: grupo ℓ).
Un grupo Riesz es un grupo parcialmente ordenado sin perforar con una propiedad ligeramente más débil que ser un grupo ordenado en celosía. Es decir, un grupo de Riesz satisface la propiedad de interpolación de Riesz : si x 1 , x 2 , y 1 , y 2 son elementos de G y x i ≤ y j , entonces existe z ∈ G tal que x i ≤ z ≤ y j .
Si G y H son dos grupos parcialmente ordenados, un mapa de G a H es un morfismo de grupos parcialmente ordenados si es tanto un homomorfismo de grupo como una función monótona . Los grupos parcialmente ordenados, junto con esta noción de morfismo, forman una categoría .
Los grupos parcialmente ordenados se utilizan en la definición de valoraciones de campos .
Ejemplos de
- Los enteros con su orden habitual
- Un espacio vectorial ordenado es un grupo parcialmente ordenado
- Un espacio de Riesz es un grupo ordenado en celosía
- Un ejemplo típico de un grupo parcialmente ordenado es Z n , donde la operación de grupo es la suma de componentes, y escribimos ( a 1 , ..., a n ) ≤ ( b 1 , ..., b n ) si y solo si a i ≤ b i (en el orden habitual de números enteros) para todo i = 1, ..., n .
- De manera más general, si G es un grupo parcialmente ordenado y X es un conjunto, entonces el conjunto de todas las funciones de X a G es de nuevo un grupo parcialmente ordenado: todas las operaciones se realizan por componentes. Además, cada subgrupo de G es un grupo parcialmente ordenado: hereda el orden de G .
- Si A es un álgebra C * aproximadamente de dimensión finita , o más generalmente, si A es un álgebra C * unital finita estable, entonces K 0 ( A ) es un grupo abeliano parcialmente ordenado . (Elliott, 1976)
Ver también
Referencias
- M. Anderson y T. Feil, Lattice Ordered Groups: an Introduction , D. Reidel, 1988.
- MR Darnel, La teoría de los grupos ordenados en celosía , Notas de clase en matemáticas puras y aplicadas 187, Marcel Dekker, 1995.
- L. Fuchs, Sistemas algebraicos parcialmente ordenados , Pergamon Press, 1963.
- AMW Glass, Grupos de permutación ordenados , London Math. Soc. Lecture Notes Series 55, Cambridge U. Press, 1981.
- VM Kopytov y AI Kokorin (traducción de D. Louvish), Fully Ordered Groups , Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
- VM Kopytov y N. Ya. Medvedev, Grupos ordenados por la derecha , Escuela de Álgebra y Lógica de Siberia, Oficina de Consultores, 1996.
- VM Kopytov y N. Ya. Medvedev, La teoría de los grupos ordenados en celosía , las matemáticas y sus aplicaciones 307, Kluwer Academic Publishers, 1994.
- RB Mura y A. Rhemtulla, Grupos ordenables , Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 27, Marcel Dekker, 1977.
- TS Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures , Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5 , cap. 9.
- GA Elliott, Sobre la clasificación de límites inductivos de secuencias de álgebras semimpletas de dimensión finita, J. Algebra, 38 (1976) 29-44.
enlaces externos
- Grupo parcialmente ordenado en la enciclopedia de las matemáticas
- Grupo ordenado en celosía en la Enciclopedia de las matemáticas