Curvatura

En matemáticas , la curvatura es cualquiera de varios conceptos fuertemente relacionados en geometría . Intuitivamente, la curvatura es la cantidad por la cual una curva se desvía de ser una línea recta , o una superficie se desvía de ser un plano .

Para las curvas, el ejemplo canónico es el de un círculo , que tiene una curvatura igual al recíproco de su radio . Los círculos más pequeños se doblan más bruscamente y, por lo tanto, tienen una curvatura más alta. La curvatura en un punto de una curva diferenciable es la curvatura de su círculo osculador , es decir, el círculo que mejor se aproxima a la curva cerca de ese punto. La curvatura de una línea recta es cero. A diferencia de la tangente , que es una cantidad vectorial, la curvatura en un punto suele ser una cantidad escalar , es decir, se expresa mediante un único número real .

Para superficies (y, más generalmente, para variedades de dimensiones superiores ), que están incrustadas en un espacio euclidiano , el concepto de curvatura es más complejo, ya que depende de la elección de una dirección en la superficie o variedad. Esto conduce a los conceptos de curvatura máxima , curvatura mínima y curvatura media .

Para las variedades de Riemann (de dimensión al menos dos) que no están necesariamente incrustadas en un espacio euclidiano, se puede definir la curvatura intrínsecamente , es decir, sin referirse a un espacio externo. Consulte Curvatura de las variedades de Riemann para ver la definición, que se realiza en términos de longitudes de curvas trazadas en la variedad y expresadas, usando álgebra lineal , por el tensor de curvatura de Riemann .

En Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum, ^[1] la filósofa y matemática del siglo XIV Nicole Oresme introduce el concepto de curvatura como una medida de desviación de la rectitud; para los círculos tiene la curvatura como inversamente proporcional al radio; e intenta extender esta idea a otras curvas como una magnitud que varía continuamente. ^[2]

La curvatura de una curva diferenciable se definió originalmente a través de círculos osculadores . En este escenario, Augustin-Louis Cauchy demostró que el centro de curvatura es el punto de intersección de dos líneas normales infinitamente cercanas a la curva. ^[3]

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Una célula migratoria de Dictyostelium discoideum de tipo salvaje cuyo límite está coloreado por la curvatura. Barra de escala: 5 µm.

Los vectores T y N en dos puntos de una curva plana, una versión traducida del segundo marco (punteado), y δ T el cambio en T . Aquí δs es la distancia entre los puntos. En el límite d T / ds estará en la dirección N. La curvatura describe la velocidad de rotación del marco.

Animación de la curvatura y del vector aceleración T ′( s )

Superficie de silla de montar con planos normales en las direcciones de las curvaturas principales

El transporte paralelo de un vector de A → N → B → A produce un vector diferente. Este fracaso para volver al vector inicial se mide por la holonomía de la superficie.