En teoría de números , un número práctico o panarítmico [1] es un número entero positivo n tal que todos los números enteros positivos más pequeños se pueden representar como sumas de divisores distintos de n . Por ejemplo, 12 es un número práctico porque todos los números del 1 al 11 se pueden expresar como sumas de sus divisores 1, 2, 3, 4 y 6: además de estos divisores mismos, tenemos 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 y 11 = 6 + 3 + 2.
Comienza la secuencia de números prácticos (secuencia A005153 en la OEIS )
- 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150 ....
Fibonacci utilizó números prácticos en su Liber Abaci (1202) en relación con el problema de representar números racionales como fracciones egipcias . Fibonacci no define formalmente números prácticos, pero da una tabla de expansiones de fracciones egipcias para fracciones con denominadores prácticos. [2]
El nombre "número práctico" se debe a Srinivasan (1948) . Señaló que "las subdivisiones de dinero, pesos y medidas involucran números como 4, 12, 16, 20 y 28 que generalmente se supone que son tan inconvenientes que merecen ser reemplazados por potencias de 10". Redescubrió la propiedad teórica numérica de tales números y fue el primero en intentar una clasificación de estos números que fue completada por Stewart (1954) y Sierpiński (1955) . Esta caracterización permite determinar si un número es práctico al examinar su factorización prima. Cada número perfecto par y cada potencia de dos es también un número práctico.
También se ha demostrado que los números prácticos son análogos a los números primos en muchas de sus propiedades. [3]
Caracterización de números prácticos
La caracterización original de Srinivasan (1948) estableció que un número práctico no puede ser un número deficiente , es decir, uno de los cuales la suma de todos los divisores (incluido 1 y él mismo) es menos del doble del número a menos que la deficiencia sea uno. Si el conjunto ordenado de todos los divisores del número práctico es con y , entonces la afirmación de Srinivasan puede expresarse mediante la desigualdad
- .
En otras palabras, la secuencia ordenada de todos los divisores de un número práctico tiene que ser una subsecuencia completa .
Esta caracterización parcial fue ampliada y completada por Stewart (1954) y Sierpiński (1955), quienes demostraron que es sencillo determinar si un número es práctico a partir de su factorización prima . Un número entero positivo mayor que uno con factorización prima (con los números primos en orden ordenado ) es práctico si y solo si cada uno de sus factores primos es lo suficientemente pequeño para tener una representación como una suma de divisores más pequeños. Para que esto sea cierto, el primer primodebe ser igual a 2 y, para cada i de 2 a k , cada primo sucesivo debe obedecer la desigualdad
dónde denota la suma de los divisores de x . Por ejemplo, 2 × 3 2 × 29 × 823 = 429606 es práctico, porque la desigualdad anterior se cumple para cada uno de sus factores primos: 3 ≤ σ (2) + 1 = 4, 29 ≤ σ (2 × 3 2 ) + 1 = 40 y 823 ≤ σ (2 × 3 2 × 29) + 1 = 1171.
La condición indicada anteriormente es necesaria y suficiente para que un número sea práctico. En una dirección, esta condición es necesaria para poder representarcomo una suma de divisores de n , porque si la desigualdad no fuera cierta, incluso sumar todos los divisores más pequeños daría una suma demasiado pequeña para alcanzar. En la otra dirección, la condición es suficiente, como se puede demostrar por inducción. Más fuertemente, si la factorización de n satisface la condición anterior, entonces cualquierse puede representar como una suma de divisores de n , mediante la siguiente secuencia de pasos: [4]
- Por inducción en , se puede demostrar que . Por eso.
- Dado que los internos cubrir por , hay tal y algo tal que .
- Desde y puede demostrarse por inducción que es práctico, podemos encontrar una representación de q como una suma de divisores de.
- Desde , y desde puede demostrarse por inducción que es práctico, podemos encontrar una representación de r como una suma de divisores de.
- Los divisores que representan r , junto conmultiplicado por cada uno de los divisores que representan q , juntos forman una representación de m como una suma de divisores de n .
Propiedades
- El único número práctico impar es 1, porque si n > 2 es un número impar, entonces 2 no se puede expresar como la suma de los distintos divisores de n . Más enérgicamente, Srinivasan (1948) observa que, además de 1 y 2, todo número práctico es divisible por 4 o 6 (o ambos).
- El producto de dos números prácticos también es un número práctico. [5] Más claramente, el mínimo común múltiplo de dos números prácticos es también un número práctico. De manera equivalente, el conjunto de todos los números prácticos se cierra mediante multiplicación.
- De la caracterización anterior de Stewart y Sierpiński se puede ver que si n es un número práctico yd es uno de sus divisores, entonces n * d también debe ser un número práctico.
- En el conjunto de todos los números prácticos hay un conjunto primitivo de números prácticos. Un número práctico primitivo es práctico y libre de cuadrados o práctico y cuando se divide por cualquiera de sus factores primos cuyo exponente de factorización es mayor que 1 ya no es práctico. Comienza la secuencia de números prácticos primitivos (secuencia A267124 en la OEIS )
- 1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460 ...
Relación con otras clases de números
Varios otros conjuntos notables de enteros consisten solo en números prácticos:
- De las propiedades anteriores con n un número práctico yd uno de sus divisores (es decir, d | n ), entonces n * d también debe ser un número práctico, por lo tanto, seis veces cada potencia de 3 debe ser un número práctico, así como seis veces. cada potencia de 2.
- Cada potencia de dos es un número práctico. [6] Las potencias de dos satisfacen trivialmente la caracterización de números prácticos en términos de sus factorizaciones primas: el único primo en sus factorizaciones, p 1 , es igual a dos según se requiera.
- Cada número perfecto es también un número práctico. [6] Esto se sigue del resultado de Leonhard Euler de que un número par perfecto debe tener la forma 2 n - 1 (2 n - 1). La parte impar de esta factorización es igual a la suma de los divisores de la parte par, por lo que cada factor primo impar de tal número debe ser como máximo la suma de los divisores de la parte par del número. Por lo tanto, este número debe satisfacer la caracterización de números prácticos.
- Todo primorial (el producto de los primeros i primos, para algunos i ) es práctico. [6] Para las dos primeras primarias, dos y seis, esto está claro. Cada primorial sucesivo se forma multiplicando un número primo p i por un primorial más pequeño que es divisible por dos y el siguiente primo más pequeño, p i - 1 . Según el postulado de Bertrand , p i <2 p i - 1 , por lo que cada factor primo sucesivo en el primorial es menor que uno de los divisores del primorial anterior. Por inducción, se deduce que todo primorial satisface la caracterización de números prácticos. Debido a que un primorial es, por definición, libre de cuadrados, también es un número práctico primitivo.
- Generalizando los primarios, cualquier número que sea el producto de potencias distintas de cero de los primeros k primos también debe ser práctico. Esto incluye los números altamente compuestos de Ramanujan (números con más divisores que cualquier entero positivo más pequeño) así como los números factoriales . [6]
Números prácticos y fracciones egipcias
Si n es práctico, entonces cualquier número racional de la forma m / n con m < n puede representarse como una suma ∑ d i / n donde cada d i es un divisor distinto de n . Cada término de esta suma se simplifica a una fracción unitaria , por lo que dicha suma proporciona una representación de m / n como una fracción egipcia . Por ejemplo,
Fibonacci, en su libro de 1202 Liber Abaci [2] enumera varios métodos para encontrar representaciones de fracciones egipcias de un número racional. De estos, el primero es probar si el número en sí mismo ya es una fracción unitaria, pero el segundo es buscar una representación del numerador como una suma de divisores del denominador, como se describió anteriormente. Solo se garantiza que este método tendrá éxito para denominadores que sean prácticos. Fibonacci proporciona tablas de estas representaciones para fracciones que tienen como denominadores los números prácticos 6, 8, 12, 20, 24, 60 y 100.
Vose (1985) mostró que todo número x / y tiene una representación de fracción egipcia concondiciones. La demostración implica hallar una secuencia de números prácticos n i con la propiedad de que todo número menor que n i puede escribirse como una suma dedistintos divisores de n i . Entonces, i se elige de modo que n i - 1 < y ≤ n i , y xn i se divide por y dando el cociente q y el resto r . De estas elecciones se desprende que. Expandir ambos numeradores en el lado derecho de esta fórmula en sumas de divisores de n i da como resultado la representación de fracción egipcia deseada. Tenenbaum y Yokota (1990) usan una técnica similar que involucra una secuencia diferente de números prácticos para mostrar que cada número x / y tiene una representación de fracción egipcia en la que el denominador más grande es.
Según una conjetura de septiembre de 2015 de Zhi-Wei Sun , [7] todo número racional positivo tiene una representación de fracción egipcia en la que cada denominador es un número práctico. Hay una prueba de la conjetura en el blog de David Eppstein . [8]
Analogías con números primos
Una razón para el interés en los números prácticos es que muchas de sus propiedades son similares a las propiedades de los números primos . De hecho, los teoremas análogos a la conjetura de Goldbach y la conjetura de los primos gemelos se conocen para los números prácticos: todo entero par positivo es la suma de dos números prácticos, y existen infinitos triples de números prácticos x - 2, x , x + 2. [ 9] Melfi también mostró que hay infinitos números prácticos de Fibonacci (secuencia A124105 en la OEIS ); la cuestión análoga de la existencia de infinitos números primos de Fibonacci está abierta. Hausman y Shapiro (1984) demostraron que siempre existe un número práctico en el intervalo [ x 2 , ( x + 1) 2 ] para cualquier x real positivo , un resultado análogo a la conjetura de Legendre para los números primos. Este resultado en números prácticos en intervalos cortos ha mejorado posteriormente por Melfi, quien demostró [10] que sies la secuencia de números prácticos, entonces para n suficientemente grande y para una A adecuada ,
Deje que p ( x ) cuente cuántos números prácticos son como máximo x . Margenstern (1991) conjeturó que p ( x ) es asintótico acx / log x para alguna constante c , una fórmula que se asemeja al teorema de los números primos , lo que refuerza la afirmación anterior de Erdős y Loxton (1979) de que los números prácticos tienen densidad cero en los enteros. Mejorando una estimación de Tenenbaum (1986) , Saias (1997) encontró que p ( x ) tiene un orden de magnitud x / log x . Weingartner (2015) demostró la conjetura de Margenstern. Tenemos [11]
dónde [12] Por tanto, los números prácticos son aproximadamente un 33,6% más numerosos que los números primos. El valor exacto del factor constanteviene dado por [13]
dónde es la constante de Euler-Mascheroni y pasa por encima de los números primos.
Al igual que con los números primos en una progresión aritmética, dados dos números naturales y , tenemos [14]
El factor constante es positivo si, y solo si, hay más de un número práctico congruente con . Si, luego . Por ejemplo, alrededor del 38,26% de los números prácticos tienen un último dígito decimal de 0, mientras que los últimos dígitos de 2, 4, 6, 8 ocurren cada uno con la misma frecuencia relativa del 15,43%.
Notas
- ↑ Margenstern (1991) cita a Robinson (1979) y Heyworth (1980) para el nombre de "números panarítmicos".
- ↑ a b Sigler (2002) .
- ^ Hausman y Shapiro (1984) ; Margenstern (1991) ; Melfi (1996) ; Saias (1997) .
- ^ Stewart (1954) ; Sierpiński (1955) .
- ^ Margenstern (1991) .
- ↑ a b c d Srinivasan (1948) .
- ^ Una conjetura sobre fracciones unitarias que involucran primos
- ^ 0xDE: fracciones egipcias con denominadores prácticos
- ^ Melfi (1996) .
- ↑ Melfi (1995)
- ^ Weingartner (2015) y Observación 1 de Pomerance & Weingartner (2021)
- ^ Weingartner (2020) .
- ^ Weingartner (2019) .
- ↑ Weingartner (2021)
Referencias
- Erdős, Paul ; Loxton, JH (1979), "Algunos problemas in partitio numerorum", Revista de la Sociedad Matemática Australiana, Serie A , 27 (3): 319–331, doi : 10.1017 / S144678870001243X.
- Heyworth, MR (1980), "Más sobre números panarítmicos", Matemáticas de Nueva Zelanda. revista , 17 (1): 24-28. Como lo cita Margenstern (1991) .
- Hausman, Miriam; Shapiro, Harold N. (1984), "Sobre números prácticos", Comunicaciones sobre matemáticas puras y aplicadas , 37 (5): 705–713, doi : 10.1002 / cpa.3160370507 , MR 0752596.
- Margenstern, Maurice (1984), "Résultats et conjectures sur les nombres pratiques", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 299 (18): 895–898. Como lo cita Margenstern (1991) .
- Margenstern, Maurice (1991), "Les nombres pratiques: théorie, observación y conjeturas", Journal of Number Theory , 37 (1): 1–36, doi : 10.1016 / S0022-314X (05) 80022-8 , MR 1089787.
- Melfi, Giuseppe (1995), "Una encuesta sobre números prácticos", Rend. Sem. Estera. Univ. Pol. Turín , 53 (4): 347–359.
- Melfi, Giuseppe (1996), "Sobre dos conjeturas sobre números prácticos", Journal of Number Theory , 56 (1): 205-210, doi : 10.1006 / jnth.1996.0012 , MR 1370203.
- Mitrinović, Dragoslav S .; Sándor, József; Crstici, Borislav (1996), "III.50 Números prácticos", Manual de teoría de números, Volumen 1 , Matemáticas y sus aplicaciones, 351 , Kluwer Academic Publishers, págs. 118-119, ISBN 978-0-7923-3823-9.
- Pomerance, C .; Weingartner, A. (2021), "Sobre primos y números prácticos", Ramanujan Journal , arXiv : 2007.11062 , doi : 10.1007 / s11139-020-00354-y.
- Robinson, DF (1979), "Fracciones egipcias a través de la teoría de números griega", Matemáticas de Nueva Zelanda. revista , 16 (2): 47–52. Como lo citan Margenstern (1991) y Mitrinović, Sándor & Crstici (1996) .
- Saias, Eric (1997), "Entiers à diviseurs denses, I", Journal of Number Theory , 62 (1): 163-191, doi : 10.1006 / jnth.1997.2057 , MR 1430008.
- Sigler, Laurence E. (trad.) (2002), Liber Abaci de Fibonacci , Springer-Verlag, págs. 119-121, ISBN 0-387-95419-8.
- Sierpiński, Wacław (1955), "Sur une propriété des nombres naturels", Annali di Matematica Pura ed Applicata , 39 (1): 69–74, doi : 10.1007 / BF02410762.
- Srinivasan, AK (1948), "Números prácticos" (PDF) , Current Science , 17 : 179–180, MR 0027799.
- Stewart, BM (1954), "Sumas de distintos divisores", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 76 (4): 779–785, doi : 10.2307 / 2372651 , JSTOR 2372651 , MR 0064800.
- Tenenbaum, G. (1986), "Sur un problème de crible et ses applications", Ann. Sci. Norma de la École. Sorber. (4) , 19 (1): 1–30, MR 0860809.
- Tenenbaum, G .; Yokota, H. (1990), "Longitud y denominadores de fracciones egipcias", Journal of Number Theory , 35 (2): 150–156, doi : 10.1016 / 0022-314X (90) 90109-5 , MR 1057319.
- Vose, M. (1985), "Fracciones egipcias", Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 17 (1): 21, doi : 10.1112 / blms / 17.1.21 , MR 0766441.
- Weingartner, A. (2015), "Números prácticos y distribución de divisores", The Quarterly Journal of Mathematics , 66 (2): 743–758, arXiv : 1405.2585 , doi : 10.1093 / qmath / hav006.
- Weingartner, A. (2019), "Sobre el factor constante en varias estimaciones asintóticas relacionadas", Mathematics of Computation , 88 (318): 1883-1902, arXiv : 1705.06349 , doi : 10.1090 / mcom / 3402.
- Weingartner, A. (2020), "El factor constante en lo asintótico para números prácticos", International Journal of Number Theory , 16 (3): 629–638, arXiv : 1906.07819 , doi : 10.1142 / S1793042120500311.
- Weingartner, A. (2021), "Una extensión del teorema de Siegel-Walfisz", Proceedings of the American Mathematical Society , arXiv : 2011.06627 , doi : 10.1090 / proc / 15607.
enlaces externos
- Tablas de números prácticos compiladas por Giuseppe Melfi.
- Número práctico en PlanetMath .
- Weisstein, Eric W. , "Número práctico" , MathWorld