Medir previamente

En matemáticas , una premedida es una función que es, en cierto sentido, precursora de una medida auténtica en un espacio dado. De hecho, uno de los teoremas fundamentales de la teoría de la medida establece que una medida previa puede extenderse a una medida.

Definición

Sea R un anillo de subconjuntos (cerrado bajo unión y complemento relativo ) de un conjunto fijo X y sea μ ₀ :  R  → [0, + ∞] una función de conjunto. μ ₀ se llama una medida previa si

${\displaystyle \mu _{0}(\emptyset )=0}$

y, para cada secuencia contable (o finita) { A _n } _{n ∈ N}  ⊆  R de conjuntos disjuntos por pares cuya unión se encuentra en R ,

${\displaystyle \mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})}$.

La segunda propiedad se llama σ -aditividad .

Por lo tanto, lo que falta para que una premedida sea una medida es que no está necesariamente definida en un sigma-álgebra (o un sigma-ring ).

Teorema de extensión de Carathéodory

Artículo principal: teorema de extensión de Carathéodory

Resulta que los pre-medidas dan lugar naturalmente a medida exterior , que se definen para todos los subconjuntos del espacio X . Más precisamente, si μ ₀ es una medida previa definida en un anillo de subconjuntos R del espacio X , entonces la función establecida μ ^∗ definida por

${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})\right|A_{i}\in R,S\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right\}}$

es una medida externa en X y la medida μ inducida por μ ^∗ en el σ-álgebra Σ de los conjuntos medibles de Carathéodory satisface para (en particular, Σ incluye R ). Se toma como mínimo el conjunto vacío .${\displaystyle \mu (A)=\mu _{0}(A)}$${\displaystyle A\in R}$${\displaystyle +\infty }$

(Tenga en cuenta que existe alguna variación en la terminología utilizada en la bibliografía. Por ejemplo, Rogers (1998) utiliza "medida" cuando en este artículo se utiliza el término "medida exterior". Las medidas exteriores no son, en general, medidas, ya que pueden fallan en ser σ -aditivo.)

Ver también

• Teorema de Hahn-Kolmogorov

Referencias

• Munroe, ME (1953). Introducción a la medida e integración . Cambridge, Mass .: Addison-Wesley Publishing Company Inc. pág. 310. Señor 0053186
• Rogers, CA (1998). Medidas de Hausdorff . Biblioteca Matemática de Cambridge (Tercera ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pag. 195. ISBN 0-521-62491-6. MR 1692618 (Ver sección 1.2.)
• Folland, GB (1999). Análisis real . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., pp.  30 -31. ISBN 0-471-31716-0.