número primo

Un número primo (o primo ) es un número natural mayor que 1 que no es producto de dos números naturales menores. Un número natural mayor que 1 que no es primo se llama número compuesto . Por ejemplo, 5 es primo porque las únicas formas de escribirlo como producto, 1 × 5 o 5 × 1 , involucran al 5 mismo. Sin embargo, 4 es compuesto porque es un producto (2 × 2) en el que ambos números son menores que 4. Los primos son fundamentales en la teoría de números debido al teorema fundamental de la aritmética : todo número natural mayor que 1 es un primo en sí mismo o se puede factorizarcomo un producto de primos que es único hasta su orden.

La propiedad de ser primo se llama primalidad . Un método simple pero lento de verificar la primalidad de un número dado , llamado división de prueba , prueba si es un múltiplo de cualquier número entero entre 2 y . Los algoritmos más rápidos incluyen la prueba de primalidad Miller-Rabin , que es rápida pero tiene una pequeña posibilidad de error, y la prueba de primalidad AKS , que siempre produce la respuesta correcta en tiempo polinomial pero es demasiado lenta para ser práctica. Hay métodos particularmente rápidos disponibles para números de formas especiales, como los números de Mersenne . A diciembre de 2018, el número primo más grande conocido es un primo de Mersenne con 24.862.048${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización {\ sqrt {n}}}$^[actualizar]dígitos decimales . ^[1]

Hay infinitos números primos, como lo demostró Euclides alrededor del año 300 a. Ninguna fórmula simple conocida separa los números primos de los números compuestos. Sin embargo, la distribución de números primos dentro de los números naturales en los grandes se puede modelar estadísticamente. El primer resultado en esa dirección es el teorema de los números primos , probado a finales del siglo XIX, que dice que la probabilidad de que un número grande elegido al azar sea primo es inversamente proporcional a su número de dígitos, es decir, a su logaritmo .

Varias preguntas históricas sobre los números primos aún están sin resolver. Estos incluyen la conjetura de Goldbach , que todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos, y la conjetura de los primos gemelos , de que hay infinitos pares de números primos que tienen solo un número par entre ellos. Tales preguntas estimularon el desarrollo de varias ramas de la teoría de números, centrándose en los aspectos analíticos o algebraicos de los números. Los números primos se utilizan en varias rutinas de la tecnología de la información , como la criptografía de clave pública , que se basa en la dificultad de factorizar números grandes en sus factores primos. En álgebra abstracta, los objetos que se comportan de forma generalizada como números primos incluyen elementos primos e ideales primos .

Un número natural (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.) se llama número primo (o primo ) si es mayor que 1 y no se puede escribir como el producto de dos números naturales más pequeños. Los números mayores que 1 que no son primos se llaman números compuestos . ^[2] En otras palabras, es primo si los elementos no se pueden dividir en grupos más pequeños del mismo tamaño de más de un elemento, ^[3] o si no es posible organizar los puntos en una cuadrícula rectangular que tiene más de un punto de ancho y más de un punto alto. ^[4] Por ejemplo, entre los números del 1 al 6, los números 2, 3 y 5 son los números primos, ^[5]${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización n}$ya que no hay otros números que los dividan por igual (sin resto). 1 no es primo, ya que está específicamente excluido en la definición. 4 = 2 × 2 y 6 = 2 × 3 son ambos compuestos.

Los números compuestos se pueden organizar en rectángulos , pero los números primos no.

Demostración, con varillas de Cuisenaire , de que 7 es primo, porque ninguno de 2, 3, 4, 5 o 6 lo divide por igual

El papiro matemático de Rhind

El error relativo de y la integral logarítmica como aproximaciones a la función de conteo de números primos . Ambos errores relativos disminuyen a cero a medida que crece, pero la convergencia a cero es mucho más rápida para la integral logarítmica.${\displaystyle {\tfrac {n}{\log n}}}$${\displaystyle \operatorname {Li} (n)}$${\displaystyle n}$

Primos en las progresiones aritméticas módulo 9. Cada fila de la delgada banda horizontal muestra una de las nueve progresiones posibles módulo 9, con números primos marcados en rojo. Las progresiones de números que son 0, 3 o 6 mod 9 contienen como máximo un número primo (el número 3); las progresiones restantes de números que son 2, 4, 5, 7 y 8 mod 9 tienen infinitos números primos, con números similares de primos en cada progresión

La espiral de Ulam . Los números primos (rojos) se agrupan en algunas diagonales y no en otras. Los valores primos de se muestran en azul.${\displaystyle 4n^{2}-2n+41}$

Gráfico de los valores absolutos de la función zeta, mostrando algunas de sus características

Los primos gaussianos con norma menor a 500

El engranaje pequeño de este equipo agrícola tiene 13 dientes, un número primo, y el engranaje medio tiene 21, relativamente primo a 13.

El tamiz de Eratóstenes comienza con todos los números sin marcar (gris). Encuentra repetidamente el primer número sin marcar, lo marca como primo (colores oscuros) y marca su cuadrado y todos los múltiplos posteriores como compuestos (colores más claros). Después de marcar los múltiplos de 2 (rojo), 3 (verde), 5 (azul) y 7 (amarillo), se han procesado todos los números primos hasta la raíz cuadrada del tamaño de la tabla y todos los números restantes sin marcar (11, 13 , etc.) están marcados como números primos (magenta).

La suma conectada de dos nudos primos

Construcción de un pentágono regular con regla y compás. Esto solo es posible porque 5 es un primo de Fermat .