En la filosofía de las matemáticas , el principio de permanencia , o ley de la permanencia de las formas equivalentes , es la idea de que las operaciones algebraicas como la suma y la multiplicación deben comportarse consistentemente en cada sistema numérico , especialmente cuando se desarrollan extensiones a sistemas numéricos establecidos . [1] [2]
Antes del advenimiento de las matemáticas modernas y su énfasis en el método axiomático , el principio de permanencia era una herramienta importante en los argumentos matemáticos. En las matemáticas modernas, los argumentos han sido reemplazados por pruebas rigurosas construidas sobre axiomas, pero el principio aún puede aplicarse como heurística para descubrir nuevas estructuras algebraicas . [3] Además, el principio se ha formalizado en una clase de teoremas llamados principio de transferencia , [4] que establece que todos los enunciados de algún lenguaje que son verdaderos para alguna estructura son verdaderos para otra estructura.
Historia
El principio fue descrito por George Peacock en su libro A Treatise of Algebra (énfasis en el original):
132. Recurramos nuevamente a este principio o ley de la permanencia de las formas equivalentes , y consideremos que cuando se expresa en forma de proporción directa e inversa .
“ Cualquier forma que sea algebraicamente equivalente a otra, cuando se expresa en símbolos generales, debe ser verdadera, sea lo que sea lo que denoten esos símbolos. "
Por el contrario, si descubrimos una forma equivalente en Álgebra aritmética o cualquier otra ciencia subordinada, cuando los símbolos son de forma general aunque específicos en su naturaleza, la misma debe ser una forma equivalente, cuando los símbolos son generales en su naturaleza así como en su forma.
El principio fue posteriormente revisado por Hermann Hankel [5] [6] y adoptado por Giuseppe Peano , Ernst Mach , Hermann Schubert , Alfred Pringsheim y otros. [7]
Aproximadamente en el mismo período que A Treatise of Algebra , Augustin-Louis Cauchy publicó Cours d'Analyse , que utilizaba el término " generalidad del álgebra " para describir (y criticar) un método de argumentación utilizado por matemáticos del siglo XVIII como Euler y Lagrange que era similar al principio de permanencia.
Aplicaciones
Uno de los usos principales del principio de permanencia es mostrar que una ecuación funcional que se aplica a los números reales también se aplica a los números complejos. [8]
Como ejemplo, la función e s + t - e s e t = 0 en los números reales . Por el principio de permanencia para funciones de dos variables, esto implica que e s + t - e s e t = 0 también para todos los números complejos, lo que demuestra una de las leyes de los exponentes para exponentes complejos. [9]
Ver también
Referencias
- ^ Wolfram, Stephen. "Capítulo 12, Sección 9, Nota a pie de página: Generalización en matemáticas". Un nuevo tipo de ciencia . pag. 1168.
- ^ "La permanencia como principio de práctica" . Historia Mathematica . 2021-02-01. págs. 77–94. doi : 10.1016 / j.hm.2020.08.001 .
- ^ "Principio de permanencia" . Stack de Historia de la Ciencia y Matemáticas .
- ^ "Principio de permanencia" . Stack de Historia de la Ciencia y Matemáticas .
- ^ Wolfram, Stephen. "Capítulo 12, Sección 9, Nota a pie de página: Generalización en matemáticas". Un nuevo tipo de ciencia . pag. 1168.
- ^ "Hankel, Hermann | Encyclopedia.com" . www.encyclopedia.com .
- ^ "La permanencia como principio de práctica" . Historia Mathematica . 2021-02-01. págs. 77–94. doi : 10.1016 / j.hm.2020.08.001 .
- ^ Dauben, Joseph W. (1979), Georg Cantor: sus matemáticas y filosofía del infinito , Boston: Harvard University Press , ISBN 978-0-691-02447-9.
- ^ Gamelin, T. Análisis complejo , Serie UTM, Springer-Verlag, 2001c