En matemáticas , la teoría de los cuadrados latinos es un área de investigación activa con muchos problemas abiertos . Como en otras áreas de las matemáticas, estos problemas a menudo se hacen públicos en conferencias y reuniones profesionales. Los problemas planteados aquí aparecieron, por ejemplo, en las conferencias Loops (Praga) y las conferencias Milehigh (Denver) .
Problemas abiertos
Limita al número máximo de transversales en un cuadrado latino
Una transversal en un cuadrado latino de orden n es un conjunto S de n celdas tal que cada fila y cada columna contiene exactamente una celda de S , y tal que los símbolos en S forman {1, ..., n }. Sea T ( n ) el número máximo de transversales en un cuadrado latino de orden n . Estime T ( n ).
- Propuesto: por Ian Wanless en Loops '03, Praga 2003
- Comentarios: Wanless, McKay y McLeod tienen límites de la forma c n < T ( n ) < d n n !, Donde c > 1 y d es aproximadamente 0,6. Una conjetura de Rivin, Vardi y Zimmermann (Rivin et al., 1994) dice que puedes colocar al menos exp ( c n log n ) reinas en posiciones de no ataque en un tablero de ajedrez toroidal (para alguna constante c ). Si es cierto, esto implicaría que T ( n )> exp ( c n log n ). Una pregunta relacionada es estimar el número de transversales en las tablas de Cayley de grupos cíclicos de orden impar . En otras palabras, ¿cuántos ortomorfismos tienen estos grupos ?
- El número mínimo de transversales de un cuadrado latino también es un problema abierto. HJ Ryser conjeturó (Oberwolfach, 1967) que cada cuadrado latino de orden impar tiene uno. Estrechamente relacionada está la conjetura, atribuida a Richard Brualdi, de que todo cuadrado latino de orden n tiene una transversal parcial de orden al menos n - 1.
Caracterización de subcuadrados latinos en tablas de multiplicar de bucles de Moufang
Describe cómo surgen todos los subcuadrados latinos en las tablas de multiplicar de bucles de Moufang .
- Propuesto: por Aleš Drápal en Loops '03, Praga 2003
- Comentarios: Es bien conocido que cada subcuadrado América en una tabla de multiplicación de un grupo G es de la forma aH x Hb , donde H es un subgrupo de G y un , b son elementos de G .
Cuadrados latinos parciales más densos con propiedad de Blackburn
Un cuadrado latino parcial tiene la propiedad de Blackburn si siempre que las celdas ( i , j ) y ( k , l ) están ocupadas por el mismo símbolo, las esquinas opuestas ( i , l ) y ( k , j ) están vacías. ¿Cuál es la densidad más alta alcanzable de celdas llenas en un cuadrado latino parcial con la propiedad de Blackburn? En particular, ¿hay alguna constante c > 0 tal que siempre podamos llenar al menos c n 2 celdas?
- Propuesto: por Ian Wanless en Loops '03, Praga 2003
- Comentarios: En un artículo que aparecerá, Wanless ha demostrado que si c existe entonces c <0,463. También construyó una familia de cuadrados latinos parciales con la propiedad de Blackburn y una densidad asintótica de al menos exp (- d (log n ) 1/2 ) para una constante d > 0.
Mayor potencia de 2 dividiendo el número de cuadrados latinos
Dejar sea el número de cuadrados latinos de orden n . ¿Cuál es el número entero más grande? tal que divide ? Lo hacecrecer cuadráticamente en n ?
- Propuesto: por Ian Wanless en Loops '03, Praga 2003
- Comentarios: Por supuesto, dónde es el número de cuadrados latinos reducidos de orden n . Esto da inmediatamente un número lineal de factores de 2. Sin embargo, aquí están las factorizaciones primas depara n = 2, ..., 11:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 2 | 2 3 7 | 2 6 * 3 * 7 2 | 2 10 * 3 * 5 * 1103 | 2 17 * 3 * 1361291 | 2 21 * 3 2 * 5231 * 3824477 | 2 28 * 3 2 * 5 * 31 * 37 * 547135293937 | 2 35 * 3 4 * 5 * 2801 * 2206499 * 62368028479 |
- Esta tabla sugiere que la potencia de 2 está creciendo superlinealmente. El mejor resultado actual es que siempre es divisible por f !, donde f es aproximadamente n / 2. Ver (McKay y Wanless, 2003). Dos autores notaron el poder sospechosamente alto de 2 (sin poder arrojar mucha luz sobre él): (Alter, 1975), (Mullen, 1978).
Ver también
Referencias
- Alter, Ronald (1975), "¿Cuántos cuadrados latinos hay?", Amer. Matemáticas. Mensualmente , Asociación de Matemáticas de América, 82 (6): 632–634, doi : 10.2307 / 2319697 , JSTOR 2319697.
- McKay, Brendan; Wanless, Ian (2005), "Sobre el número de cuadrados latinos", Ann. Combin. , 9 (3): 335–344, doi : 10.1007 / s00026-005-0261-7.
- Mullen, Garry (1978), "¿Cuántos cuadrados latinos reducidos hay?", Amer. Matemáticas. Mensualmente , Asociación de Matemáticas de América, 85 (9): 751–752, doi : 10.2307 / 2321684 , JSTOR 2321684.
- Rivin, Igor; Vardi, Ilan; Zimmerman, Paul (1994), "El problema de las n-reinas", Amer. Matemáticas. Mensualmente , Asociación de Matemáticas de América, 101 (7): 629–639, doi : 10.2307 / 2974691 , JSTOR 2974691.