En matemáticas , especialmente el álgebra abstracta , la teoría de bucles y la teoría de cuasigrupos son áreas de investigación activas con muchos problemas abiertos . Como en otras áreas de las matemáticas, estos problemas a menudo se hacen públicos en conferencias y reuniones profesionales. Muchos de los problemas planteados aquí aparecieron por primera vez en las conferencias Loops (Praga) y las conferencias Mile High (Denver) .
Problemas abiertos (bucles de Moufang)
Abeliano por grupos cíclicos que dan como resultado bucles de Moufang
Sea L un bucle de Moufang con un subgrupo abeliano normal (subbucle asociativo) M de orden impar tal que L / M es un grupo cíclico de orden mayor que 3. (i) ¿Es L un grupo ? (ii) Si los órdenes de M y L / M son primos relativos , ¿es L un grupo?
- Propuesto: por Michael Kinyon, basado en (Chein y Rajah, 2000)
- Comentarios: La suposición de que L / M tiene un orden mayor que 3 es importante, ya que hay un bucle de Moufang (conmutativo) L de orden 81 con un subgrupo conmutativo normal de orden 27.
Incorporación de CML del período 3 en álgebras alternativas
Conjetura: Cualquier bucle de Moufang conmutativo finito del período 3 se puede incrustar en un álgebra alternativa conmutativa .
- Propuesto: por Alexander Grishkov en Loops '03, Praga 2003
Subloop Frattini para bucles Moufang
Conjetura: Let L sea un bucle finito Moufang y Φ ( L ) de la intersección de todos los bucles parciales máximas de L . Entonces Φ ( L ) es un subbucle nilpotent normal de L .
- Propuesto: por Alexander Grishkov en Loops '11, Třešť 2011
Presentaciones mínimas para bucles M (G, 2)
Para un grupo , definir en X por , , , . Encuentra una presentación mínima para el bucle de Moufangcon respecto a una presentación para.
- Propuesto: por Petr Vojtěchovský en Loops '03, Praga 2003
- Comentarios: Chein demostró en (Chein, 1974) que es un bucle de Moufang que no es asociativo si y solo si es nobeliano. Vojtěchovský (Vojtěchovský, 2003) encontró una presentación mínima para Cuándo es un grupo generado por 2.
Bucles de mufang de orden p 2 q 3 y pq 4
Deje que p y q sean primos impares distintos. Si q no es congruente con 1 módulo p , ¿son todos los bucles de Moufang de orden p 2 q 3 grupos? ¿Qué pasa con pq 4 ?
- Propuesto: por Andrew Rajah en Loops '99, Praga 1999
- Comentarios: El primero ha sido resuelto por Rajah y Chee (2011) donde mostraron que para distintos primos impares p 1 <··· < p m < q < r 1 <··· < r n , todos los bucles de Moufang de orden p 1 2 ··· p m 2 q 3 r 1 2 ··· r n 2 son grupos si y solo si q no es congruente con 1 módulo p i para cada i .
(Problema de Phillips) Bucle de Moufang de orden impar con núcleo trivial
¿Existe un bucle de Moufang de orden impar con núcleo trivial?
- Propuesto: por Andrew Rajah en Loops '03, Praga 2003
Presentaciones para bucles de Moufang simples finitos
Encuentre presentaciones para todos los bucles de Moufang simples finitos no asociativos en la variedad de bucles de Moufang.
- Propuesto: por Petr Vojtěchovský en Loops '03, Praga 2003
- Comentarios: Se muestra en (Vojtěchovský, 2003) que cada bucle de Moufang simple finito no asociativo es generado por 3 elementos, con fórmulas explícitas para los generadores.
El problema de Burnside restringido para los bucles de Moufang
Conjetura: Sea M un bucle finito de Moufang de exponente n con m generadores. Entonces existe una función f ( n , m ) tal que | M | < f ( n , m ).
- Propuesto: por Alexander Grishkov en Loops '11, Třešť 2011
- Comentarios: En el caso en que n es un primo diferente de 3, Grishkov demostró la conjetura. Si p = 3 y M es conmutativa, Bruck lo demostró. El caso general para p = 3 fue probado por G. Nagy. El caso n = p m se cumple con el teorema de Grishkov-Zelmanov.
Los teoremas de Sanov y M. Hall para bucles de Moufang
Conjetura: Sea L un bucle de Moufang de exponente 4 o 6 generado finitamente. Entonces L es finito.
- Propuesto: por Alexander Grishkov en Loops '11, Třešť 2011
Torsión en bucles libres de Moufang
Sea MF n el bucle libre de Moufang con n generadores.
Conjetura: MF 3 está libre de torsión, pero MF n con n > 4 no lo es.
- Propuesto: por Alexander Grishkov en Loops '03, Praga 2003
Problemas abiertos (bucles de Bol)
Grado de nilpotencia del grupo de multiplicación izquierdo de un bucle de Bol izquierdo
Para una izquierda Bol bucle Q , encontrar alguna relación entre la nilpotencia grado de multiplicación del grupo izquierdo de Q y la estructura de Q .
- Propuesto: en la conferencia Milehigh sobre cuasigrupos, bucles y sistemas no asociativos, Denver 2005
¿Son dos lazos de Bol con tablas de multiplicar similares isomórficas?
Dejar , Ser dos cuasigrupos definidos en el mismo conjunto subyacente. . La distancia es el número de pares en tal que . Llame cuadrática a una clase de cuasigrupos finitos si hay un número real positivo tal que dos cuasigrupos cualesquiera , de orden de la clase satisfactoria son isomorfos. ¿Los bucles de Moufang son cuadráticos? ¿Los bucles de Bol son cuadráticos?
- Propuesto: por Aleš Drápal en Loops '99, Praga 1999
- Comentarios: Drápal demostró en (Drápal, 1992) que los grupos son cuadráticos con, y en (Drápal, 2000) que 2 grupos son cuadráticos con .
Serie Campbell-Hausdorff para bucles de Bol analíticos
Determine la serie de Campbell-Hausdorff para bucles de Bol analíticos.
- Propuesto: por MA Akivis y VV Goldberg en Loops '99, Praga 1999
- Comentarios: El problema se ha resuelto parcialmente para los bucles de Bruck analíticos locales en (Nagy, 2002).
Bucle universalmente flexible que no es medio Bol
Un bucle es universalmente flexible si cada uno de sus isótopos de bucle es flexible , es decir, satisface ( xy ) x = x ( yx ). Un bucle es Bol medio si cada uno de sus isótopos de bucle tiene la propiedad inversa antiautomórfica, es decir, satisface ( xy ) −1 = y −1 x −1 . ¿Existe un bucle finito y universalmente flexible que no sea un Bol medio?
- Propuesto: por Michael Kinyon en Loops '03, Praga 2003
Bucle de Bol simple finito con clases de conjugación no triviales
¿Existe un bucle de Bol no asociativo simple finito con clases de conjugación no triviales?
- Propuesto: por Kenneth W. Johnson y Jonathan DH Smith en la Conferencia 2nd Mile High sobre Matemáticas No Asociativas, Denver 2009
Problemas abiertos (Nilpotencia y solvencia)
Sea Q un bucle cuyo grupo de mapeo interno es nilpotente. ¿Es Q nilpotente? ¿ Q tiene solución?
- Propuesto: en Loops '03 y '07, Praga 2003 y 2007
- Comentarios: La respuesta a la primera pregunta es afirmativa si Q es finito (Niemenmaa 2009). El problema está abierto en el caso general.
Bucles con grupo de mapeo interno abeliano
Sea Q un bucle con un grupo de mapeo interno abeliano. ¿Es Q nilpotente? Si es así, ¿hay un límite en la clase de nula potencia de Q ? En particular, ¿puede la clase de nula potencia de Q ser superior a 3?
- Propuesta: en Loops '07, Praga 2007
- Comentarios: Cuando el grupo de mapeo interno Inn ( Q ) es finito y abeliano, entonces Q es nilpotente (Niemenaa y Kepka). Por tanto, la primera cuestión está abierta sólo en el caso infinito. Llame al bucle Q de tipo Csörgõ si es nilpotente de clase al menos 3, y Inn ( Q ) es abeliano. No se conoce ningún bucle del tipo Csörgõ de clase de nilpotencia superior a 3. Existen bucles del tipo Csörgõ (Csörgõ, 2004), existen bucles Buchsteiner del tipo Csörgõ (Csörgõ, Drápal y Kinyon, 2007), y existen bucles Moufang del tipo Csörgõ (Nagy y Vojtěchovský, 2007). Por otro lado, no hay grupos de tipo Csörgõ (folklore), no hay bucles de Moufang conmutativos de tipo Csörgõ (Bruck), y no hay bucles p de Moufang de tipo Csörgõ para p > 3 (Nagy y Vojtěchovský, 2007 ).
Número de bucles nilpotentes hasta el isomorfismo
Determine el número de bucles nilpotentes de orden 24 hasta el isomorfismo.
- Propuesto: por Petr Vojtěchovský en la 2nd Mile High Conference on Nonsociative Mathematics, Denver 2009
- Comentario: Los recuentos se conocen para n <24, ver (Daly y Vojtěchovský, 2010).
Un bucle nilpotente finito sin una base finita para sus leyes
Construya un bucle nilpotente finito sin una base finita para sus leyes.
- Propuesto: por MR Vaughan-Lee en el Cuaderno Kourovka de problemas no resueltos en teoría de grupos
- Comentario: Hay un ciclo finito sin una base finita para sus leyes (Vaughan-Lee, 1979) pero no es nilpotente.
Problemas abiertos (cuasigrupos)
Clasificación de cuasigrupos paramediales simples finitos
Clasifique los cuasigrupos paramediales simples finitos.
- Propuesta: Jaroslav Ježek y Tomáš Kepka en Loops '03, Praga 2003
Existencia de cuasigrupos paramediales simples infinitos
¿Hay infinitos cuasigrupos paramediales simples?
- Propuesta: Jaroslav Ježek y Tomáš Kepka en Loops '03, Praga 2003
Variedades mínimas isotópicamente universales de cuasigrupos
Una variedad V de cuasigrupos es isotópicamente universales si cada cuasigrupo es isotópico a un miembro de V . ¿Es la variedad de bucles una variedad mínima isotópicamente universal? ¿Todas las variedades isotópicamente universales contienen la variedad de bucles o sus parastrofes?
- Propuesto: por Tomáš Kepka y Petr Němec en Loops '03, Praga 2003
- Comentarios: Cada cuasigrupo es isotópico para un bucle, por lo que la variedad de bucles es isotópicamente universal.
Pequeños cuasigrupos con núcleo de cuasigrupos
¿Existe un cuasigrupo Q de orden q = 14, 18, 26 o 42 tal que la operación * definida en Q por x * y = y - xy es una operación de cuasigrupo?
- Propuesto: por Parascovia Syrbu en Loops '03, Praga 2003
- Comentarios: ver (Conselo et al., 1998)
¿Construcción uniforme de cuadrados latinos?
Construya un cuadrado latino L de orden n de la siguiente manera: Sea G = K n, n el gráfico bipartito completo con pesos distintos en sus n 2 aristas. Sea M 1 la coincidencia más barata en G , M 2 la coincidencia más barata en G con M 1 eliminado, y así sucesivamente. Cada coincidencia M i determina una permutación p i de 1, ..., n . Deje L obtenerse a partir de G mediante la colocación de la permutación p i en la fila i de L . ¿Este procedimiento da como resultado una distribución uniforme en el espacio de cuadrados latinos de orden n ?
- Propuesto: por Gábor Nagy en la 2nd Mile High Conference on Nonsociative Mathematics, Denver 2009
Problemas abiertos (varios)
Vinculado al tamaño de los grupos de multiplicación
Para un bucle Q , sea Mlt (Q) el grupo de multiplicación de Q , es decir, el grupo generado por todas las traslaciones de izquierda y derecha. Es | Mlt ( Q ) | < f (| Q |) para alguna variedad de bucles y para algún polinomio f ?
- Propuesto: en la conferencia Milehigh sobre cuasigrupos, bucles y sistemas no asociativos, Denver 2005
¿Cada bucle alternativo finito tiene inversas de 2 lados?
¿Todo ciclo alternativo finito , es decir, todo ciclo que satisfaga x ( xy ) = ( xx ) y y x ( yy ) = ( xy ) y , tiene inversas de 2 lados?
- Propuesto: por Warren D. Smith
- Comentarios: Hay infinitos bucles alternativos sin inversos de 2 lados, cf. (Ormes y Vojtěchovský, 2007)
Bucle automórfico no asociativo simple finito
Encuentre un bucle automórfico simple finito no asociativo , si tal bucle existe.
- Propuesto: por Michael Kinyon en Loops '03, Praga 2003
- Comentarios: Se sabe que dicho bucle no puede ser conmutativo (Grishkov, Kinyon y Nagý, 2013) ni tener un orden impar (Kinyon, Kunen, Phillips y Vojtěchovský, 2013).
Teorema de Moufang en bucles que no son de Moufang
Decimos que una variedad V de bucles satisface el teorema de Moufang si para cada bucle Q en V se cumple la siguiente implicación: para cada x , y , z en Q , si x ( yz ) = ( xy ) z entonces el subbucle generado por x , y , z es un grupo. ¿Cada variedad que satisface el teorema de Moufang está contenida en la variedad de bucles de Moufang?
- Propuesto por: Andrew Rajah en Loops '11, Třešť 2011
Universalidad de los bucles de Osborn
Un bucle es Osborn si satisface la identidad x (( yz ) x ) = ( x λ \ y ) ( zx ). ¿Es cada bucle de Osborn universal, es decir, cada isótopo de un bucle de Osborn es Osborn? Si no es así, ¿existe una buena identidad que caracterice los bucles de Osborn universales?
- Propuesto: por Michael Kinyon en la conferencia Milehigh sobre cuasigrupos, bucles y sistemas no asociativos, Denver 2005
- Comentarios: Moufang y bucles cerrados de conjugación son Osborn. Consulte (Kinyon, 2005) para obtener más información.
Problemas resueltos
Los siguientes problemas se plantearon como abiertos en varias conferencias y desde entonces se han resuelto.
Buchsteiner loop que no está cerrado por conjugación
¿Hay un bucle de Buchsteiner que no esté cerrado por conjugación? ¿Existe un bucle de Buchsteiner simple finito que no esté cerrado por conjugación?
- Propuesto: en la conferencia Milehigh sobre cuasigrupos, bucles y sistemas no asociativos, Denver 2005
- Resuelto por: Piroska Csörgõ, Aleš Drápal y Michael Kinyon
- Solución: El cociente de un bucle de Buchsteiner por su núcleo es un grupo abeliano de exponente 4. En particular, ningún bucle de Buchsteiner no asociativo puede ser simple. Existe un bucle de Buchsteiner de orden 128 que no está cerrado por conjugación.
Clasificación de bucles de Moufang de orden 64
Clasifique los bucles de Moufang no asociativos de orden 64.
- Propuesto: en la conferencia Milehigh sobre cuasigrupos, bucles y sistemas no asociativos, Denver 2005
- Resuelto por: Gábor P. Nagy y Petr Vojtěchovský
- Solución: Hay 4262 bucles de Moufang no asociativos de orden 64. Se encontraron mediante el método de modificaciones de grupo en (Vojtěchovský, 2006), y se mostró en (Nagy y Vojtěchovský, 2007) que la lista está completa. El último artículo utiliza un enfoque lineal-algebraico para las extensiones de bucle de Moufang .
Bucle cerrado conjugado con grupos de multiplicación unilaterales no isomórficos
Construya un bucle cerrado de conjugación cuyo grupo de multiplicación izquierdo no sea isomorfo a su grupo de multiplicación derecho.
- Propuesto: por Aleš Drápal en Loops '03, Praga 2003
- Resuelto por: Aleš Drápal
- Solución: existe un ciclo de orden 9. In se puede obtener en el
- Paquete LOOPS con el comando CCLoop (9,1)
Existencia de un bucle de Bol simple finito
¿Existe un bucle de Bol simple finito que no sea Moufang?
- Propuesto en: Loops '99, Praga 1999
- Resuelto por: Gábor P. Nagy, 2007.
- Solución: Un bucle de Bol simple que no sea Moufang se llamará adecuado .
- Hay varias familias de bucles Bol simples adecuados. Un bucle de Bol simple más pequeño y adecuado es de orden 24 (Nagy 2008).
- También hay un bucle Bol simple adecuado de exponente 2 (Nagy 2009) y un bucle Bol simple adecuado de orden impar (Nagy 2008).
- Comentarios: Las construcciones anteriores resolvieron dos problemas abiertos adicionales:
- ¿Existe un bucle de Bruck simple y finito que no sea Moufang? Sí, ya que cualquier bucle de Bol simple y adecuado de exponente 2 es Bruck.
- ¿Se pueden resolver todos los bucles de Bol de orden impar? No, como lo atestigua cualquier bucle de Bol simple y adecuado de extraño orden.
Bucle de Bol izquierdo con núcleo derecho trivial
¿Existe un bucle de Bol izquierdo finito que no sea de Moufang con un núcleo derecho trivial?
- Propuesto: en la conferencia Milehigh sobre cuasigrupos, bucles y sistemas no asociativos, Denver 2005
- Resuelto por: Gábor P. Nagy, 2007
- Solución: Hay un bucle de Bol izquierdo simple finito de exponente 2 de orden 96 con núcleo derecho trivial. Además, el uso de una factorización exacta del grupo Mathieu M 24 , es posible construir un simple bucle Bol no Moufang que es un G-bucle .
Propiedad de Lagrange para bucles de Moufang
¿Tiene cada bucle finito de Moufang la propiedad fuerte de Lagrange?
- Propuesto: por Orin Chein en Loops '99, Praga 1999
- Resuelto por: Alexander Grishkov y Andrei Zavarnitsine, 2003
- Solución: Cada bucle finito de Moufang tiene la fuerte propiedad de Lagrange (SLP). Aquí hay un esquema de la prueba:
- Según (Chein et al. 2003), es suficiente mostrar SLP para bucles de Moufang simples finitos no asociativos (NFSML).
- Por tanto, basta con mostrar que el orden de un subbucle máximo de un NFSML L divide el orden de L.
- Una clase contable de NFSML fue descubierto en (Paige 1956), y no existen otros NSFML por (Liebeck 1987).
- Grishkov y Zavarnitsine emparejaron sublazos máximos de bucles con ciertos subgrupos de grupos con trialidad en (Grishkov y Zavarnitsine, 2003).
Bucles de mufang con conmutador no normal
¿Existe un bucle de Moufang cuyo conmutador no sea normal?
- Propuesto: por Andrew Rajah en Loops '03, Praga 2003
- Resuelto por: Stephen Gagola III (Gagola 2012)
- Solución: No, en cada bucle de Moufang, el conmutador es un subbucle normal. La solución subsume una conjetura de Doro de que un bucle de Moufang con núcleo trivial tiene un conmutador normal.
Cuasivariedad de núcleos de bucles de Bol
¿Es la clase de núcleos de bucles Bol una cuasivariedad?
- Propuesto: por Jonathan DH Smith y Alena Vanžurová en Loops '03, Praga 2003
- Resuelto por: Alena Vanžurová, 2004.
- Solución: No, la clase de núcleos de bucles de Bol no está cerrada bajo subálgebras. Además, la clase de núcleos de grupos no está cerrada bajo subálgebras. Aquí hay un esquema de la prueba:
- Los núcleos de los grupos abelianos son medianos , por (Romanowska y Smith, 1985), (Rozskowska-Lech, 1999).
- El grupo nobeliano más pequeño tiene un núcleo que contiene un submagma de orden 4 que no es medial.
- Si es un núcleo de un bucle Bol, es un núcleo de un bucle Bol de orden 4, por lo tanto, un núcleo de un grupo abeliano, una contradicción.
Paridad del número de cuasigrupos hasta isomorfismo
Sea I (n) el número de clases de isomorfismos de cuasigrupos de orden n. ¿Soy (n) impar para cada n?
- Propuesto: por Douglas S. Stones en 2nd Mile High Conference on Nonsociative Mathematics, Denver 2009
- Resuelto por: Douglas S. Stones, 2010.
- Solución: I (12) es par. De hecho, I (n) es impar para todo n ≤ 17 excepto 12. (Stones 2010)
Clasificación de cuasigrupos paramediales simples finitos
Clasifique los cuasigrupos paramediales simples finitos.
- Propuesta: Jaroslav Ježek y Tomáš Kepka en Loops '03, Praga 2003.
- Resuelto por: Victor Shcherbacov y Dumitru Pushkashu (2010).
- Solución: Cualquier cuasigrupo paramedial simple finito es isotópico al grupo p abeliano elemental. Tal cuasigrupo puede ser un cuasigrupo unipotente medial, o un cuasigrupo distributivo conmutativo medial, o un isótopo de tipo especial de (φ + ψ) -cuasigrupo distributivo medial simple.
Ver también
Referencias
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enlaces externos
- Conferencia Loops '99
- Conferencia Loops '03
- Conferencia Loops '07
- Conferencia Loops '11
- Conferencias Milehigh sobre matemáticas no asociativas
- Paquete LOOPS para GAP
- Problemas en la teoría de bucles y la teoría de cuasigrupos