Función Lambert W

En matemáticas , la función W de Lambert , también llamada función omega o logaritmo del producto , es una función multivalor , es decir, las ramas de la relación inversa de la función f ( w ) = we w , donde w es cualquier número complejo y e w es la función exponencial .

Para cada entero k hay una rama, denotada por W k ( z ) , que es una función de valor complejo de un argumento complejo. W 0 se conoce como la rama principal . Estas funciones tienen la siguiente propiedad: si z y w son números complejos, entonces

Cuando se trata de números reales solamente, las dos ramas W 0 y W -1 suficiente: para números reales x y y la ecuación

se puede resolver para y solo si x ≥ - 1 / e ; obtenemos y = W 0 ( x ) si x ≥ 0 y los dos valores y = W 0 ( x ) e y = W −1 ( x ) si - 1 / e ≤ x <0 .

La relación de Lambert W no se puede expresar en términos de funciones elementales . [1] Es útil en combinatoria , por ejemplo, en la enumeración de árboles . Puede usarse para resolver varias ecuaciones que involucran exponenciales (por ejemplo, los máximos de las distribuciones de Planck , Bose-Einstein y Fermi-Dirac ) y también ocurre en la solución de ecuaciones diferenciales de retardo , como y ′ ( t ) = a y ( t - 1) . En bioquímica , y en particular cinética enzimática., una solución de forma abierta para el análisis de la cinética del curso del tiempo de la cinética de Michaelis-Menten se describe en términos de la función W de Lambert .

La función Lambert W lleva el nombre de Johann Heinrich Lambert . La rama principal W 0 se denota Wp en la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas , y la rama W −1 se denota Wm allí.

La gráfica de y = W ( x ) para x <6 e y > −4 reales . La rama superior (azul) con y ≥ −1 es la gráfica de la función W 0 (rama principal), la rama inferior (magenta) con y ≤ −1 es la gráfica de la función W −1 . El valor mínimo de x está en {−1 / e , −1}
Rama principal de la función W de Lambert en el plano complejo, trazada con coloración de dominio . Observe el corte de la rama a lo largo del eje real negativo, que termina en - 1 / e .
El módulo de la rama principal de la función de Lambert W , coloreado de acuerdo con arg W ( z )
El rango de la función W , que muestra todas las ramas. Las curvas negras (incluido el eje real) forman la imagen del eje real, las curvas naranjas son la imagen del eje imaginario. La curva violeta es la imagen de un pequeño círculo alrededor del punto z = 0 ; las curvas rojas son la imagen de un pequeño círculo alrededor del punto z = - 1 / e .
Gráfico de la parte imaginaria de W [n, x + iy] para las ramas n = -2, -1,0,1,2. La gráfica es similar a la de la función de logaritmo complejo multivalor excepto que el espaciado entre hojas no es constante y la conexión de la hoja principal es diferente
Regiones del plano complejo para las cuales , donde z = x + iy . Los límites más oscuros de una región en particular se incluyen en la región más clara del mismo color. El punto en {−1, 0} se incluye tanto en la región (azul) como en la región (gris). Las líneas de cuadrícula horizontales están en múltiplos de π .
Una gráfica de W j ( x e x ) donde el azul es para j = 0 y el rojo es para j = −1. La línea diagonal representa los intervalos donde W j ( x e x ) = x