En matemáticas , un haz proyectivo es un haz de fibras cuyas fibras son espacios proyectivos .
Por definición, un esquema X sobre un esquema noetheriano S es un paquete P n si localmente es un espacio n proyectivo; es decir,y los automorfismos de transición son lineales. Sobre un esquema S regular , como una variedad suave , cada paquete proyectivo tiene la formapor algún paquete del vector (gavilla localmente libre) E . [1]
El paquete proyectivo de un paquete de vectores
Cada paquete de vectores sobre una variedad X da un paquete proyectivo tomando los espacios proyectivos de las fibras, pero no todos los paquetes proyectivos surgen de esta manera: hay una obstrucción en el grupo de cohomología H 2 ( X , O *). Para ver por qué, recuerde que un paquete proyectivo viene equipado con funciones de transición en intersecciones dobles de una cubierta abierta adecuada. En las superposiciones triples, cualquier elevación de estas funciones de transición satisface la condición de ciclo hasta una función invertible. La colección de estas funciones forma un 2-ciclo que se desvanece en H 2 ( X , O *) solo si el paquete proyectivo es la proyectivización de un paquete vectorial. En particular, si X es una superficie de Riemann compacta, entonces H 2 ( X , O *) = 0, por lo que esta obstrucción desaparece.
El paquete proyectivo de un paquete de vectores E es lo mismo que el paquete de Grassmann de 1-aviones en E .
El paquete proyectivo P ( E ) de un paquete vectorial E se caracteriza por la propiedad universal que dice: [2]
- Dado un morfismo f : T → X , a factorize f a través de la proyección del mapa p : P ( E ) → X es especificar un subfibrado línea de f * E .
Por ejemplo, tomando f como p , se obtiene el subconjunto de línea O (-1) de p * E , llamado paquete de línea tautológico en P ( E ). Además, este O (-1) es un paquete universal en el sentido de que cuando un paquete lineal L da una factorización f = p ∘ g , L es el retroceso de O (-1) a lo largo de g . Ver también Cono # O (1) para una construcción más explícita de O (-1).
En P ( E ), hay una secuencia exacta natural (llamada secuencia exacta tautológica):
donde Q se llama el cociente-paquete tautológico.
Deje E ⊂ F sea paquetes del vector (localmente roldanas libre de rango finito) en X y G = F / E . Sea q : P ( F ) → X la proyección. Entonces el mapa natural O (-1) → q * F → q * G es una sección global de la gavilla hom Hom ( O (-1), q * G) = q * G ⊗ O (1) . Además, este mapa natural desaparece en un punto exactamente cuando el punto es una línea en E ; en otras palabras, el lugar geométrico cero de esta sección es P ( E ).
Un ejemplo particularmente útil de esta construcción es cuando F es la suma directa E ⊕ 1 de E y el haz de líneas trivial (es decir, la estructura). Entonces P ( E ) es un hiperplano en P ( E ⊕ 1), llamado el hiperplano en el infinito, y el complemento de P ( E ) puede ser identificado con E . De esta manera, P ( E ⊕ 1) se conoce como la finalización proyectiva (o "compactificación") de E .
El haz proyectivo P ( E ) es estable bajo la torsión de E por un haz de líneas; precisamente, dado un paquete de líneas L , existe el isomorfismo natural:
tal que [3] (De hecho, se obtiene g por la propiedad universal aplicada al conjunto de líneas de la derecha).
Ejemplos de
Se pueden encontrar muchos ejemplos no triviales de paquetes proyectivos usando fibraciones sobre tales como fibraciones de Lefschetz . Por ejemplo, una superficie elíptica K3 es una superficie K3 con una fibración
tal que las fibras por son curvas genéricamente elípticas. Debido a que cada curva elíptica es una curva de género 1 con un punto distinguido, existe una sección global de la fibración. Debido a esta sección global, existe un modelo dedando un morfismo al paquete proyectivo [4]
definido por la ecuación de Weierstrass
dónde representar las coordenadas locales de , respectivamente, y los coeficientes
son secciones de poleas en . Tenga en cuenta que esta ecuación está bien definida porque cada término en la ecuación de Weierstrauss tiene un grado total (es decir, el grado del coeficiente más el grado del monomio. Por ejemplo, ).
Anillo de cohomología y grupo Chow
Sea X una variedad proyectiva lisa compleja y E un paquete vectorial complejo de rango r sobre él. Let p : P ( E ) → X ser el haz proyectivo de E . Entonces el anillo de cohomología H * ( P ( E )) es un álgebra sobre H * ( X ) a través del retroceso p * . Entonces la primera clase Chern ζ = c 1 ( O (1)) genera H * ( P ( E )) con la relación
donde c i ( E ) es la i -ésima clase de Chern de E . Una característica interesante de esta descripción es que se pueden definir las clases de Chern como los coeficientes de la relación; este es el enfoque adoptado por Grothendieck.
En campos distintos del campo complejo, la misma descripción sigue siendo válida con el anillo de Chow en lugar del anillo de cohomología (aún asumiendo que X es suave). En particular, para los grupos de Chow, existe la descomposición de suma directa
Al final resultó que, esta descomposición sigue siendo válida incluso si X no es suave ni proyectiva. [5] En contraste, A k ( E ) = A k - r ( X ), a través del homomorfismo de Gysin , moralmente porque las fibras de E , los espacios vectoriales, son contractibles.
Ver también
- Proyecto de construcción
- cono (geometría algebraica)
- superficie reglada (un ejemplo de un paquete proyectivo)
- Variedad Severi-Brauer
- Superficie de Hirzebruch
Referencias
- ^ Hartshorne , cap. II, Ejercicio 7.10. (C).
- ^ Hartshorne , cap. II, Proposición 7.12.
- ^ Hartshorne , cap. II, Lema 7,9.
- ↑ Propp, Oron Y. (22 de mayo de 2019). "Construcción de espectros K3 explícitos". arXiv : 1810.08953 [ matemáticas.AT ].
- ^ Fulton , Teorema 3.3.
- Elencwajg, G .; Narasimhan, MS (1983), "Paquetes proyectivos en un toro complejo", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1983 (340): 1-5, doi : 10.1515 / crll.1983.340.1 , ISSN 0075-4102 , MR 0691957 , S2CID 122557310
- William Fulton. (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157