En matemáticas , una variedad Severi-Brauer sobre un campo K es una variedad algebraica V que se convierte en isomorfo a un espacio proyectivo sobre un cierre algebraica de K . Las variedades están asociadas a las álgebras centrales simples de tal manera que las divisiones álgebra sobre K si y sólo si la variedad tiene un punto racional sobre K . [1] Francesco Severi ( 1932 ) estudió estas variedades, y también llevan el nombre de Richard Brauer.por su estrecha relación con el grupo Brauer .
En la dimensión uno, las variedades Severi-Brauer son cónicas . Las correspondientes álgebras centrales simples son las álgebras de cuaterniones . El álgebra ( a , b ) K corresponde a la cónica C ( a , b ) con ecuación
y el álgebra ( a , b ) K divide , es decir, ( a , b ) K es isomorfo a un álgebra matricial sobre K , si y solo si C ( a , b ) tiene un punto definido sobre K : esto es a su vez equivalente a C ( un , b ) siendo isomorfo a la línea proyectiva sobre K . [1] [2]
Tales variedades son de interés no solo en la geometría diofántica , sino también en la cohomología de Galois . Representan (al menos si K es un campo perfecto ) clases de Galois de cohomología en H 1 ( PGL n ), donde PGL n es el grupo lineal proyectiva , y n es la dimensión de la variedad V . Hay una breve secuencia exacta
- 1 → GL 1 → GL n → PGL n → 1
de grupos algebraicos . Esto implica un homomorfismo de conexión
- H 1 ( PGL n ) → H 2 ( GL 1 )
a nivel de cohomología. Aquí H 2 ( GL 1 ) se identifica con el grupo de Brauer de K , mientras que el núcleo es trivial porque H 1 ( GL n ) = {1} por una extensión del Teorema 90 de Hilbert . [3] [4] Por lo tanto, las variedades de Severi-Brauer pueden ser representadas fielmente por elementos del grupo Brauer, es decir, clases de álgebras centrales simples .
Lichtenbaum demostró que si X es una variedad de Severi-Brauer sobre K, entonces hay una secuencia exacta
Aquí el mapa δ envía 1 a la clase Brauer correspondiente a X . [2]
Como consecuencia de ello, vemos que si la clase de X tiene el fin d en el grupo de Brauer entonces hay una clase de divisor de grado d en X . El asociado sistema lineal define la d -dimensional incrustación de X sobre un campo de división L . [5]
Ver también
Nota
- ↑ a b Jacobson (1996) p.113
- ↑ a b Gille y Szamuely (2006) p.129
- ^ Gille y Szamuely (2006) p.26
- ^ Berhuy, Grégory (2010), Introducción a la cohomología de Galois y sus aplicaciones , Serie de notas de conferencia de la Sociedad Matemática de Londres, 377 , Cambridge University Press , p. 113, ISBN 0-521-73866-0, Zbl 1207.12003
- ^ Gille y Szamuely (2006) p.131
Referencias
- Artin, Michael (1982), "Variedades de Brauer-Severi", Grupos de Brauer en teoría de anillos y geometría algebraica (Wilrijk, 1981) , Lecture Notes in Math., 917 , Notes by A. Verschoren, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 194–210, doi : 10.1007 / BFb0092235 , ISBN 978-3-540-11216-7, MR 0657430 , Zbl 0.536,14006
- "Variedad Brauer-Severi" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006), "Variedades Severi-Brauer" , Álgebras simples centrales y Cohomología de Galois , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 101 , Cambridge University Press , págs. 114-134, ISBN 0-521-86103-9, MR 2266528 , Zbl 1137.12001
- Jacobson, Nathan (1996), álgebras de división de dimensión finita sobre campos , Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-57029-2, Zbl 0874.16002
- Saltman, David J. (1999), Conferencias sobre álgebras de división , Serie de conferencias regionales sobre matemáticas, 94 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0979-2, Zbl 0934.16013
- Severi, Francesco (1932), "Un nuovo campo di ricerche nella geometria sopra una superficie e sopra una varietà algebrica", Memorie della Reale Accademia d'Italia (en italiano), 3 (5), Reimpreso en el volumen 3 de sus obras completas
Otras lecturas
- Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998), The book of involutions , Colloquium Publications, 44 , con un prefacio de J. Tits, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0904-0, MR 1632779 , Zbl 0.955,16001
enlaces externos
- Documento expositivo sobre la ascendencia de Galois (PDF)