En geometría elemental , el teorema de la pizza establece la igualdad de dos áreas que surgen cuando uno divide un disco de cierta manera.
Sea p un punto interior del disco, y sea n un múltiplo de 4 y mayor o igual a 8. Forme n sectores del disco con ángulos iguales eligiendo una línea arbitraria a través de p , rotando la líneanorte/2 - 1 vez por un ángulo de 2 π/norte radianes , y cortando el disco en cada uno de los resultantes norte/2líneas. Numere los sectores consecutivamente en sentido horario o antihorario. Entonces el teorema de la pizza establece que:
- La suma de las áreas de los sectores impares es igual a la suma de las áreas de los sectores pares ( Upton 1968 ).
El teorema de la pizza se llama así porque imita una técnica tradicional de corte de pizza . Muestra que, si dos personas comparten una pizza cortada de esta manera tomando porciones alternas, entonces cada una recibe la misma cantidad de pizza.
Historia
El teorema de la pizza fue propuesto originalmente como un problema de desafío por Upton (1967) . La solución publicada a este problema, por Michael Goldberg, implicó la manipulación directa de las expresiones algebraicas para las áreas de los sectores. Carter y Wagon (1994a) proporcionan una prueba alternativa por disección . Muestran cómo dividir los sectores en piezas más pequeñas de modo que cada pieza de un sector impar tenga una pieza congruente en un sector par y viceversa. Frederickson (2012) proporcionó una familia de pruebas de disección para todos los casos (en los que el número de sectores es 8, 12, 16, ... ).
Generalizaciones
El requisito de que el número de sectores sea un múltiplo de cuatro es necesario: como mostró Don Coppersmith , dividir un disco en cuatro sectores, o un número de sectores que no sea divisible por cuatro, no produce en general áreas iguales. Mabry y Deiermann (2009) respondieron a un problema de Carter y Wagon (1994b) proporcionando una versión más precisa del teorema que determina cuál de los dos conjuntos de sectores tiene mayor área en los casos en que las áreas son desiguales. Específicamente, si el número de sectores es 2 (mod 8) y ningún corte pasa por el centro del disco, entonces el subconjunto de cortes que contiene el centro tiene un área más pequeña que el otro subconjunto, mientras que si el número de sectores es 6 (mod 8) y ningún corte pasa por el centro, entonces el subconjunto de cortes que contienen el centro tiene un área más grande. No es posible un número impar de sectores con cortes en línea recta, y un corte a través del centro hace que los dos subconjuntos sean iguales independientemente del número de sectores.
Mabry y Deiermann (2009) también observan que, cuando la pizza se divide uniformemente, también lo está su corteza (la corteza se puede interpretar como el perímetro del disco o el área entre el límite del disco y un círculo más pequeño que tiene la mismo centro, con el punto de corte en el interior de este último), y dado que los discos delimitados por ambos círculos están divididos uniformemente, también lo es su diferencia. Sin embargo, cuando la pizza se divide de manera desigual, el comensal que obtiene la mayor parte del área de pizza en realidad obtiene la menor corteza.
Como Hirschhorn et al. (1999) nota, una división igual de la pizza también conduce a una división igual de sus ingredientes, siempre que cada ingrediente se distribuya en un disco (no necesariamente concéntrico con toda la pizza) que contiene el punto central p de la división en sectores.
Resultados relacionados
Hirschhorn y col. (1999) muestran que una pizza cortada en rodajas de la misma manera que el teorema de la pizza, en un número n de sectores con ángulos iguales donde n es divisible por cuatro, también se puede compartir equitativamente entre n / 4 personas. Por ejemplo, una pizza dividida en 12 sectores puede ser compartida a partes iguales por tres personas así como por dos; sin embargo, para dar cabida a los cinco Hirschhorns, una pizza debería dividirse en 20 sectores.
Cibulka y col. (2010) y Knauer, Micek & Ueckerdt (2011) estudian la teoría de juegos de elegir porciones de pizza gratis para garantizar una gran parte, un problema planteado por Dan Brown y Peter Winkler . En la versión del problema que estudian, una pizza se corta radialmente (sin la garantía de sectores con ángulos iguales) y dos comensales eligen alternativamente trozos de pizza adyacentes a un sector ya comido. Si los dos comensales intentan maximizar la cantidad de pizza que comen, el comensal que toma la primera porción puede garantizar una porción de 4/9 de la pizza total, y existe una porción de la pizza que no puede tomar más. El problema de la división justa o del corte del pastel considera juegos similares en los que diferentes jugadores tienen diferentes criterios sobre cómo miden el tamaño de su participación; por ejemplo, un comensal puede preferir obtener la mayor cantidad de pepperoni mientras que otro comensal puede preferir obtener la mayor cantidad de queso.
Ver también
Otros resultados matemáticos relacionados con el corte de pizza involucran la secuencia del servicio de catering perezoso , una secuencia de números enteros que cuenta el número máximo de piezas de pizza que se pueden obtener por un número dado de rebanadas rectas, y el teorema del sándwich de jamón , un resultado sobre cortar tres -objetos dimensionales cuya versión bidimensional implica que cualquier pizza, sin importar cuán deformada, puede tener su área y la longitud de su corteza simultáneamente divididas en dos por un solo corte en línea recta cuidadosamente elegido, y cuya versión tridimensional implica que existe un corte plano que comparte por igual base, tomate y queso.
Referencias
- Carter, Larry; Wagon, Stan (1994a), "Prueba sin palabras: asignación justa de una pizza", Revista de matemáticas , 67 (4): 267, doi : 10.1080 / 0025570X.1994.11996228 , JSTOR 2690845.
- Carter, Larry; Wagon, Stan (1994b), "Problema 1457", Revista de matemáticas , 67 (4): 303–310, JSTOR 2690855.
- Cibulka, Josef; Kynčl, Jan; Mészáros, Viola; Stolař, Rudolf; Valtr, Pavel (2010), "Solución del problema de la pizza de Peter Winkler", Fete of Combinatorics and Computer Science , Bolyai Society Mathematical Studies, 20 , János Bolyai Mathematical Society y Springer-Verlag, pp. 63-93, arXiv : 0812.4322 , doi : 10.1007 / 978-3-642-13580-4_4 , ISBN 978-3-642-13579-8, S2CID 18272355.
- Hirschhorn, J .; Hirschhorn, MD; Hirschhorn, JK; Hirschhorn, AD; Hirschhorn, PM Hirschhorn (1999), "El teorema de la pizza" (PDF) , Austral. Matemáticas. Soc. Gaz. , 26 : 120–121.
- Frederickson, Greg (2012), "La prueba está en la pizza", Revista de matemáticas , 85 (1): 26–33, doi : 10.4169 / math.mag.85.1.26 , JSTOR 10.4169 / math.mag.85.1.26 , S2CID 116636161.
- Knauer, Kolja; Micek, Piotr; Ueckerdt, Torsten (2011), "How to eat 4/9 of a pizza", Discrete Mathematics , 311 (16): 1635–1645, arXiv : 0812.2870 , doi : 10.1016 / j.disc.2011.03.015 , S2CID 15566728.
- Mabry, Rick; Deiermann, Paul (2009), "Of Cheese and Crust: A Proof of the Pizza Conjecture and Other Tasty Results", American Mathematical Monthly , 116 (5): 423–438, doi : 10.4169 / 193009709x470317 , JSTOR 40391118.
- Ornes, Stephen (11 de diciembre de 2009), "La manera perfecta de cortar una pizza" , New Scientist.
- Upton, LJ (1967), "Problema 660", Revista de matemáticas , 40 (3): 163, JSTOR 2688484 . Planteamiento del problemaCS1 maint: posdata ( enlace ).
- Upton, LJ (1968), "Problema 660", Revista de matemáticas , 41 (1): 42, JSTOR 2687962 . Solución de Michael GoldbergCS1 maint: posdata ( enlace ).
- Berzsenyi, George (1994), "El teorema de la pizza - Parte I" (PDF) , Quantum Magazine : 29
- Berzsenyi, George (1994), "El teorema de la pizza - Parte II" (PDF) , Revista Quantum : 29
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de la pizza" . MathWorld .
- Sillke, Torsten, pizza Teorema , recuperada 2009-11-24