En la teoría de conjuntos , L (R) (pronunciado L de R ) es el modelo interno transitivo más pequeño de ZF que contiene todos los ordinales y todos los reales .
Construcción
Se puede construir de una manera análoga a la construcción de L (es decir, el universo construible de Gödel ), agregando todos los reales al principio y luego iterando la operación de conjunto de potencia definible a través de todos los ordinales.
Supuestos
En general, el estudio de L (R) supone una amplia gama de axiomas cardinales grandes , ya que sin estos axiomas no se puede demostrar ni siquiera que L (R) sea distinto de L. Pero dado que existen suficientes cardinales grandes, L (R) no no satisfacen el axioma de elección , sino más bien el axioma de determinación . Sin embargo, L (R) seguirá satisfaciendo el axioma de elección dependiente , dado que el universo de von Neumann , V , también satisface ese axioma.
Resultados
Dados los supuestos anteriores, algunos resultados adicionales de la teoría son:
- Cada conjunto proyectivo de reales - y por lo tanto cada conjunto analítico y cada conjunto de Borel de reales - es un elemento de L (R).
- Cada conjunto de reales en L (R) es Lebesgue mensurable (de hecho, universalmente mensurable ) y tiene la propiedad de Baire y la propiedad de conjunto perfecto .
- L (R) no satisface el axioma de uniformización o el axioma de determinación real .
- R # , el sostenido del conjunto de todos los reales, tiene el grado de Wadge más pequeño de cualquier conjunto de reales no contenidos en L (R).
- Aunque no todos los relación en los reales en L (R) tiene una uniformización en L (R), cada dicha relación hace tener una uniformización en L (R # ).
- Dada cualquier extensión genérica (tamaño de conjunto) V [G] de V, L (R) es un submodelo elemental de L (R) calculado en V [G]. Por tanto, la teoría de L (R) no se puede cambiar forzando .
- L (R) satisface AD + .
Referencias
- Woodin, W. Hugh (1988). "Cardenales supercompactos, conjuntos de reales y árboles débilmente homogéneos" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 85 (18): 6587–6591. doi : 10.1073 / pnas.85.18.6587 . PMC 282022 . PMID 16593979 .