En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un mapa casi abierto entre espacios topológicos es un mapa que satisface una condición similar, pero más débil, que la condición de ser un mapa abierto . Como se describe a continuación, para ciertas categorías amplias de espacios vectoriales topológicos , todos los operadores lineales sobreyectivos son necesariamente casi abiertos.
Definiciones
Dado un mapa sobreyectivo un punto se llama un punto de apertura para y se dice que está abierto a las(o un mapa abierto en) si para cada vecindario abierto de es un barrio de en (nota que el barrio no se requiere que sea un vecindario abierto ).
Un mapa sobreyectivo se llama mapa abierto si está abierto en todos los puntos de su dominio, mientras que se llama mapa casi abierto, cada una de sus fibras tiene algún punto de apertura. Explícitamente, un mapa sobreyectivose dice que está casi abierto si por cada existe algo tal que está abierto a las Toda sobreyección casi abierta es necesariamente un mapa pseudo-abierto (introducido por Alexander Arhangelskii en 1963), lo que por definición significa que para cada y cada barrio de (es decir ), es necesariamente un barrio de
Mapa lineal casi abierto
Un mapa lineal entre dos espacios vectoriales topológicos (TVS) se llama casi abierto si para cualquier vecindario de en el cierre de en es un barrio del origen.
Es importante destacar que algunos autores llaman está casi abierto si para cualquier vecindario de en el cierre de en (en lugar de en ) es un barrio del origen; este artículo no utilizará esta definición. [1]
Si un operador lineal está casi abierto entonces porque es un subespacio vectorial de que contiene una vecindad de 0 en es necesariamente sobreyectiva . Por esta razón, muchos autores requieren la sobrejetividad como parte de la definición de "casi abierto".
Si es un operador lineal biyectivo, entonces está casi abierto si y solo si es casi continuo . [1]
Relación con mapas abiertos
Todo mapa abierto sobreyectivo es un mapa casi abierto pero, en general, lo contrario no es necesariamente cierto. Si una sobreyecciones un mapa casi abierto, entonces será un mapa abierto si satisface la siguiente condición (una condición que no depende de ninguna manera detopología de ):
- cuando sea pertenecen a la misma fibra de (es decir ) luego para cada vecindario de existe un barrio de tal que
Si el mapa es continuo, la condición anterior también es necesaria para que el mapa esté abierto. Es decir, si es una sobreyección continua, entonces es un mapa abierto si y solo si está casi abierto y satisface la condición anterior.
Teoremas de mapeo abierto
- Teorema : [1] Si es un operador lineal sobreyectivo de un espacio localmente convexoen un espacio barrenado luego está casi abierto.
- Teorema : [1] Si es un operador lineal sobreyectivo de un TVS en un espacio de Baire luego está casi abierto.
Los dos teoremas anteriores no requieren que el mapa lineal sobreyectivo satisfaga ninguna condición topológica.
- Teorema : [1] Si es un televisor pseudometrizable completo , es un televisor de Hausdorff, y es una sobreyección lineal cerrada y casi abierta, entonces es un mapa abierto.
- Teorema : [1] Suponga es un operador lineal continuo de un TVS pseudometrizable completo en televisores de Hausdorff . Si la imagen de no es magro en luego es un mapa abierto sobreyectivo y Es un espacio completo metrizable.
Ver también
- Conjunto casi abierto
- Espacio en barril : un espacio vectorial topológico con requisitos casi mínimos para que se mantenga el teorema de Banach-Steinhaus.
- Teorema de la inversa acotada
- Gráfico cerrado : gráfico de una función que también es un subconjunto cerrado del espacio del producto.
- Teorema del gráfico cerrado
- Conjunto abierto : subconjunto básico de un espacio topológico
- Mapas abiertos y cerrados : una función que envía subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados)
- Teorema de mapeo abierto (análisis funcional) : teorema que da las condiciones para que un mapa lineal continuo sea un mapa abierto (también conocido como teorema de Banach-Schauder)
- Mapa cuasi abierto : una función que asigna conjuntos abiertos no vacíos a conjuntos que tienen un interior no vacío en su codominio.
- Sobreyección de espacios de Fréchet - Un teorema que caracteriza cuando un mapa lineal continuo entre espacios de Fréchet es sobreyectivo.
- Espacio palmeado : espacios vectoriales topológicos para los que se cumplen los teoremas de mapeo abierto y gráficos cerrados.
Referencias
Bibliografía
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