En matemáticas , más precisamente en la teoría de funciones de varias variables complejas , un conjunto pseudoconvexo es un tipo especial de conjunto abierto en el espacio complejo n- dimensional C n . Los conjuntos pseudoconvexos son importantes, ya que permiten la clasificación de dominios de holomorfia .
Dejar
ser un dominio, es decir, un subconjunto conectado abierto . Uno dice que es pseudoconvexo (o pseudoconvexo de Hartogs ) si existe una función plurisubarmónica continua en tal que el conjunto
es un subconjunto relativamente compacto depara todos los números reales En otras palabras, un dominio es pseudoconvexo si tiene una función de agotamiento plurisubarmónico continuo . Todo conjunto convexo (geométricamente) es pseudoconvexo. Sin embargo, hay dominios pseudoconvexos que no son geométricamente convexos.
Cuándo tiene un (dos veces continuamente diferenciable ) límite , esta noción es la misma que Levi pseudoconvexity, que es más fácil trabajar con ellos. Más específicamente, con un límite, se puede demostrar que tiene una función definitoria; es decir, que existe cual es así que eso , y . Ahora, es pseudoconvexo iff para cada y en el espacio tangente complejo en p, es decir,
- , tenemos
Si no tiene una límite, el siguiente resultado de aproximación puede ser útil.
Proposición 1 Sies pseudoconvexo, entonces existen dominios pseudoconvexos fuertemente Levi delimitados con límite ( suave ) que son relativamente compactos en, tal que
Esto se debe a que una vez que tenemos un como en la definición, podemos encontrar una función de agotamiento C ∞ .
El caso n = 1
En una dimensión compleja, todo dominio abierto es pseudoconvexo. Por tanto, el concepto de pseudoconvexidad es más útil en dimensiones superiores a 1.
Ver también
Referencias
- Lars Hörmander , Introducción al análisis complejo en varias variables , Holanda Septentrional, 1990. ( ISBN 0-444-88446-7 ).
- Steven G. Krantz. Teoría de funciones de varias variables complejas , AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
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enlaces externos
- Range, R. Michael (febrero de 2012), "¿QUÉ ES ... un dominio pseudoconvexo?" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 59 (2): 301–303, doi : 10.1090 / noti798
- "Pseudoconvexo y pseudoconcavo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]