En mecánica cuántica , y especialmente en la teoría de la información cuántica , la pureza de un estado cuántico normalizado es un escalar definido como
dónde es la matriz de densidad del estado. La pureza define una medida de estados cuánticos, dando información sobre cuánto se mezcla un estado .
Propiedades matematicas
La pureza de un estado cuántico normalizado satisface , [1] dondees la dimensión del espacio de Hilbert sobre la que se define el estado. El límite superior se obtiene pory (ver rastro ).
Si es una proyección, que define un estado puro, entonces el límite superior está saturado: (ver Proyecciones ). El límite inferior se obtiene por el estado completamente mixto, representado por la matriz.
La pureza de un estado cuántico se conserva bajo transformaciones unitarias que actúan sobre la matriz de densidad en la forma, donde U es una matriz unitaria. En concreto, se conserva bajo el operador de evolución temporal. , donde H es el operador hamiltoniano . [1] [2]
Significado físico
Un estado cuántico puro se puede representar como un solo vector en el espacio de Hilbert. En la formulación de matriz de densidad, un estado puro está representado por la matriz
- .
Sin embargo, un estado mixto no se puede representar de esta manera, sino que se representa mediante una combinación lineal de estados puros.
tiempo para la normalización. El parámetro de pureza está relacionado con los coeficientes: si solo un coeficiente es igual a 1, el estado es puro. De hecho, la pureza es 1 / d cuando el estado está completamente mezclado, es decir
dónde son d vectores ortonormales que constituyen una base del espacio de Hilbert. [3]
Representación geométrica
En la esfera de Bloch , los estados puros están representados por un punto en la superficie de la esfera, mientras que los estados mixtos están representados por un punto interior. Por lo tanto, la pureza de un estado se puede visualizar como el grado en que el punto está cerca de la superficie de la esfera.
Por ejemplo, el estado completamente mixto de un solo qubit está representado por el centro de la esfera, por simetría.
Se puede obtener una intuición gráfica de la pureza observando la relación entre la matriz de densidad y la esfera de Bloch,
dónde es el vector que representa el estado cuántico (en o dentro de la esfera), y es el vector de las matrices de Pauli .
Dado que las matrices de Pauli no tienen trazas, todavía se mantiene que tr ( ρ ) = 1. Sin embargo, en virtud de
por lo tanto tr lo cual concuerda con el hecho de que solo los estados en la superficie de la esfera misma son puros (es decir, ).
Relación con otros conceptos
Entropía lineal
La pureza está relacionada trivialmente con la entropía lineal. de un estado por
Entrelazamiento
Un estado puro de 2 qubitspuede escribirse (utilizando la descomposición de Schmidt ) como, dónde son las bases de respectivamente, y . Su matriz de densidad es. El grado en que se enreda está relacionado con la pureza de los estados de sus subsistemas,, y de manera similar para (ver traza parcial ). Si este estado inicial es separable (es decir, solo hay un), luego ambos son puros. De lo contrario, este estado se enreda yson ambos mezclados. Por ejemplo, si que es un estado de entrelazado máximo, entonces ambos están completamente mezclados.
Para estados de 2 qubits (puros o mixtos), el número de Schmidt (número de coeficientes de Schmidt) es como máximo 2. Utilizando este y el criterio de Peres-Horodecki (para 2 qubits), un estado está entrelazado si su transposición parcial tiene al menos un valor propio negativo. Usando los coeficientes de Schmidt anteriores, el valor propio negativo es. [4] La negatividad de este valor propio también se utiliza como una medida de entrelazamiento: el estado está más entrelazado ya que este valor propio es más negativo (hasta para los estados de Bell ). Para el estado del subsistema (de manera similar para ), sostiene que:
Y la pureza es .
Se puede ver que cuanto más entrelazado está el estado compuesto (es decir, más negativo), menos puro es el estado del subsistema.
Razón de participación inversa (IPR)
En el contexto de la localización resulta útil una cantidad muy relacionada con la pureza, la denominada tasa de participación inversa (IPR). Se define como la integral (o suma para el tamaño del sistema finito) sobre el cuadrado de la densidad en algún espacio, por ejemplo, espacio real, espacio de momento o incluso espacio de fase, donde las densidades serían el cuadrado de la función de onda espacial real. , el cuadrado de la función de onda espacial de impulso , o alguna densidad de espacio de fase como la distribución de Husimi , respectivamente. [5]
El valor más pequeño del IPR corresponde a un estado completamente deslocalizado, para un sistema de tamaño , donde el IPR cede . Los valores del IPR cercanos a 1 corresponden a estados localizados (estados puros en la analogía), como se puede ver con el estado perfectamente localizado, donde el IPR cede . En una dimensión, el IPR es directamente proporcional a la inversa de la longitud de localización, es decir, el tamaño de la región sobre la que se localiza un estado. Los estados localizados y deslocalizados (extendidos) en el marco de la física de la materia condensada corresponden a estados aislantes y metálicos , respectivamente, si uno imagina que un electrón en una red no puede moverse en el cristal (función de onda localizada, IPR está cerca de uno ) o poder moverse (estado extendido, IPR es cercano a cero).
En el contexto de la localización, a menudo no es necesario conocer la función de onda en sí; a menudo es suficiente conocer las propiedades de localización. Por eso, el IPR es útil en este contexto. El IPR básicamente toma la información completa sobre un sistema cuántico (la función de onda; para un-espacio de Hilbert dimensional uno tendría que almacenarvalores, los componentes de la función de onda) y lo comprime en un solo número que luego solo contiene cierta información sobre las propiedades de localización del estado. Aunque estos dos ejemplos de un estado perfectamente localizado y perfectamente deslocalizado solo se mostraron para la función de onda espacial real y, en consecuencia, para el espacio real IPR, obviamente se podría extender la idea al espacio de momento e incluso al espacio de fase; el IPR luego da alguna información sobre la localización en el espacio en consideración, por ejemplo, una onda plana estaría fuertemente deslocalizada en el espacio real, pero su transformada de Fourier entonces está fuertemente localizada, por lo que aquí el IPR del espacio real sería cercano a cero y el impulso Los derechos de propiedad intelectual espaciales se acercarían a uno.
Referencias
- ↑ a b Jaeger, Gregg (15 de noviembre de 2006). Información cuántica: una descripción general . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-35725-6.
- ^ Cappellaro, Paola (2012). "Notas de la conferencia: Teoría cuántica de las interacciones de la radiación, Capítulo 7: Estados mixtos" (PDF) . ocw.mit.edu . Consultado el 26 de noviembre de 2016 .
- ^ Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2011). Computación cuántica e información cuántica: Edición del décimo aniversario . Nueva York, NY, EE.UU .: Cambridge University Press.
- ^ Życzkowski, Karol (1 de enero de 1998). "Volumen del conjunto de estados separables". Physical Review A . 58 (2): 883–892. arXiv : quant-ph / 9804024v1 . Código Bibliográfico : 1998PhRvA..58..883Z . doi : 10.1103 / PhysRevA.58.883 .
- ^ Kramer, B .; MacKinnon, A. (diciembre de 1993). "Localización: teoría y experimentación". Informes sobre avances en física . 56 (12): 1469. Código Bibliográfico : 1993RPPh ... 56.1469K . doi : 10.1088 / 0034-4885 / 56/12/001 . ISSN 0034-4885 .