En matemáticas , las seis operaciones de Grothendieck , que llevan el nombre de Alexander Grothendieck , son un formalismo en álgebra homológica . Originalmente surgió de las relaciones en cohomology étale que surgen de un morfismo de esquemas f : X → Y . La idea básica fue que muchos de los hechos elementales que relacionan la cohomología en X e Yfueron consecuencias formales de un pequeño número de axiomas. Estos axiomas se mantienen en muchos casos sin ninguna relación con el contexto original y, por lo tanto, las consecuencias formales también son válidas. Desde entonces, se ha demostrado que el formalismo de las seis operaciones se aplica a contextos tales como módulos D en variedades algebraicas, haces en espacios topológicos localmente compactos y motivos.
Las operaciones
Las operaciones son seis functores. Por lo general, estos son funtores entre categorías derivadas y también lo son en realidad izquierda y derecha funtores derivados .
- la imagen directa
- la imagen inversa
- la imagen directa adecuada (o extraordinaria)
- la imagen inversa adecuada (o extraordinaria)
- producto tensor interno
- Hom interno
Los functors y forman un par de functores adjuntos , al igual que y . [1] De manera similar, el producto tensorial interno se deja adjunto al Hom interno.
Seis operaciones en étale cohomology
Sea f : X → Y un morfismo de esquemas. El morfismo f induce a varios functores. En concreto, se da funtores adjuntos f * y f * entre las categorías de poleas en X y Y , y se da la funtor f ! de imagen directa con el soporte adecuado. En la categoría derivada , Rf ! admite un derecho adjunto f ! . Finalmente, cuando se trabaja con gavillas abelianas, hay un funtor de producto tensorial ⊗ y un funtor Hom interno, y estos son adjuntos. Las seis operaciones son los functores correspondientes en la categoría derivada: Lf * , Rf * , Rf ! , f ! , ⊗ L y RHom .
Supongamos que nos limitamos a una categoría de - poleas de torsión ádica, donde es primos entre sí a la característica de X y de Y . En SGA 4 III, Grothendieck y Artin demostraron que si f es suave de dimensión relativa d , entonces Lf * es isomorfo af ! (- d ) [- 2 d ] , donde (- d ) denota el d- ésimo giro Tate inverso y [-2 d ] denota un cambio de grado en -2 d . Además, suponga que f está separada y es de tipo finito. Si g : Y '→ Y es otro morfismo de esquemas, si X ' denota el cambio de base de X por g , y si f 'y g ' denotan los cambios de bases de f y g por g y f , respectivamente, entonces existen isomorfismos naturales:
Nuevamente, asumiendo que f está separada y es de tipo finito, para cualquier objeto M en la categoría derivada de X y N en la categoría derivada de Y , existen isomorfismos naturales:
Si i es una inmersión cerrada de Z en S con inmersión abierta complementaria j , entonces hay un triángulo distinguido en la categoría derivada:
donde los dos primeros mapas son el recuento y la unidad, respectivamente, de los adjuntos. Si Z y S son regulares, entonces hay un isomorfismo:
donde 1 Z y 1 S son las unidades de las operaciones del producto tensorial (que varían según la categoría de-se está considerando poleas de torsión ádica).
Si S es regular y g : X → S , y si K es un objeto invertible en la categoría derivada en S con respecto a ⊗ L , entonces defina D X como el funtor RHom (-, g ! K ) . Luego, para los objetos M y M ′ en la categoría derivada en X , los mapas canónicos:
son isomorfismos. Finalmente, si f : X → Y es un morfismo de esquemas S , y si M y N son objetos en las categorías derivadas de X e Y , entonces hay isomorfismos naturales:
Ver también
Referencias
- ^ Fausk, H .; P. Hu; JP mayo (2003). "Isomorfismos entre adjuntos izquierdo y derecho" (PDF) . Aplicación de teoría Categ. : 107–131. arXiv : matemáticas / 0206079 . Bibcode : 2002math ...... 6079F . Consultado el 6 de junio de 2013 .
- Laszlo, Yves; Olsson, Martin (2005). "Las seis operaciones para poleas en pilas Artin I: coeficientes finitos". arXiv : matemáticas / 0512097 . Bibcode : 2005math ..... 12097L . Cite journal requiere
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( ayuda ) - Ayoub, Joseph. Las seis operaciones de Grothendieck y el formalismo de los ciclos évanescents dans le monde motivique (PDF) (Tesis).
- Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2019). Categorías trianguladas de motivos mixtos . Springer Monografías en Matemáticas. arXiv : 0912.2110 . doi : 10.1007 / 978-3-030-33242-6 . ISBN 978-3-030-33241-9.
- Mebkhout, Zoghman (1989). Le formalisme des six opérations de Grothendieck pour les D X -modules cohérents . Travaux en Cours. vol. 35. París: Hermann. ISBN 2-7056-6049-6.
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