En geometría algebraica, un esquema de Gorenstein es un esquema localmente noetheriano cuyos anillos locales son todos de Gorenstein . [1] El paquete de líneas canónicas se define para cualquier esquema de Gorenstein sobre un campo , y sus propiedades son muy parecidas a las del caso especial de los esquemas uniformes .
Para un esquema de Gorenstein X de tipo finito sobre un campo, f : X → Spec( k ), el complejo de dualización f ! ( k ) en X es un paquete de líneas (llamado paquete canónico K X ), visto como un complejo de grado −dim( X ). [2] Si X es suave de dimensión n sobre k , el paquete canónico K X se puede identificar con el paquete de línea Ω n de grado superiorformas diferenciales . [3]
Usando el paquete canónico, la dualidad de Serre toma la misma forma para los esquemas de Gorenstein que para los esquemas suaves.
Sea X un esquema normal de tipo finito sobre un campo k . Entonces X es regular fuera de un subconjunto cerrado de codimensión al menos 2. Sea U el subconjunto abierto donde X es regular; entonces el paquete canónico K U es un paquete lineal. La restricción del grupo de clases de divisores Cl( X ) a Cl( U ) es un isomorfismo, y (dado que U es uniforme) Cl( U ) puede identificarse con el grupo de Picard Pic( U ). Como resultado, K Udefine una clase de equivalencia lineal de divisores de Weil en X . Cualquier divisor de este tipo se denomina divisor canónico K X . Para un esquema normal X , se dice que el divisor canónico K X es Q-Cartier si algún múltiplo positivo del divisor de Weil K X es Cartier . (Esta propiedad no depende de la elección del divisor de Weil en su clase de equivalencia lineal). Alternativamente, a veces se dice que los esquemas normales X con K X Q -Cartier son Q-Gorenstein .
También es útil considerar los esquemas normales X para los cuales el divisor canónico K X es Cartier . A veces se dice que dicho esquema es Q-Gorenstein de índice 1 . (Algunos autores usan "Gorenstein" para esta propiedad, pero eso puede generar confusión). Un esquema normal X es Gorenstein (como se definió anteriormente) si y solo si K X es Cartier y X es Cohen-Macaulay . [4]