q -símbolo de martillo

q-análogo del símbolo Pochhammer

En matemáticas , en el área de la combinatoria , un símbolo q- Pochhammer , también llamado factorial q- desplazado , es un q -análogo ^{[ se necesita más explicación ]} del símbolo Pochhammer . Se define como

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}$

con

${\displaystyle (a;q)_{0}=1}$

por definición. El símbolo q -Pochhammer es un componente fundamental en la construcción de q -análogos; por ejemplo, en la teoría de series hipergeométricas básicas , juega el papel que juega el símbolo ordinario de Pochhammer en la teoría de series hipergeométricas generalizadas .

A diferencia del símbolo ordinario de Pochhammer, el símbolo q -Pochhammer se puede extender a un producto infinito:

${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).}$

Ésta es una función analítica de q en el interior del disco unitario , y también se puede considerar como una serie de potencias formales en q . El caso especial

${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$

se conoce como función de Euler y es importante en combinatoria , teoría de números y teoría de formas modulares .

Identidades

El producto finito se puede expresar en términos del producto infinito:

${\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}$

que extiende la definición a enteros negativos n . Por lo tanto, para n no negativo , uno tiene

${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}$

y

${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}$

Alternativamente,

${\displaystyle \prod _{k=n}^{\infty }(1-aq^{k})=(aq^{n};q)_{\infty }={\frac {(a;q)_{\infty }}{(a;q)_{n}}},}$

que es útil para algunas de las funciones generadoras de funciones de partición.

El símbolo q -Pochhammer es objeto de una serie de identidades de la serie q , en particular las expansiones de series infinitas

${\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}$

y

${\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}}}$,

que son ambos casos especiales del teorema q-binomial :

${\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}$

Fridrikh Karpelevich encontró la siguiente identidad (ver Olshanetsky y Rogov ( 1995 ) para la prueba):

${\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.}$

Interpretación combinatoria

El símbolo q -Pochhammer está estrechamente relacionado con la combinatoria enumerativa de particiones. El coeficiente de${\displaystyle q^{m}a^{n}}$ en

${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}$

es el número de particiones de m en n partes como máximo .

Dado que, por conjugación de particiones, esto es lo mismo que el número de particiones de m en partes de tamaño como máximo n , por identificación de series generadoras obtenemos la identidad:

${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}$

como en la sección anterior.

También tenemos que el coeficiente de ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$ en

${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})}$

es el número de particiones de m en n o n -1 partes distintas.

Al eliminar una partición triangular con n - 1 partes de dicha partición, nos queda una partición arbitraria con un máximo de n partes. Esto da una biyección que preserva el peso entre el conjunto de particiones en n o n - 1 partes distintas y el conjunto de pares que consta de una partición triangular que tiene n - 1 partes y una partición con un máximo de n partes. Al identificar series generadoras, esto conduce a la identidad:

${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}}$

también se describe en la sección anterior. El recíproco de la función${\displaystyle (q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }}$surge de manera similar como la función generadora de la función de partición ,${\displaystyle p(n)}$, que también se amplía con las segundas dos expansiones de la serie q que se indican a continuación: ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.}$

El teorema q-binomial en sí mismo también puede manejarse mediante un argumento combinatorio un poco más complicado de un sabor similar (ver también las expansiones dadas en la siguiente subsección ).

Convención de múltiples argumentos

Dado que las identidades que involucran símbolos q -Pochhammer con tanta frecuencia involucran productos de muchos símbolos, la convención estándar es escribir un producto como un solo símbolo de múltiples argumentos:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$

q -series

Una serie q es una serie en la que los coeficientes son funciones de q , típicamente expresiones de${\displaystyle (a;q)_{n}}$. ^{[2] Los} primeros resultados se deben a Euler , Gauss y Cauchy . El estudio sistemático comienza con Eduard Heine (1843). ^[3]

Relación con otras funciones q

El q -analógico de n , también conocido como el q Sujetador o q -número de n , se define para ser

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$

A partir de esto se puede definir el q -análogo del factorial , el q -factorial , como

${\displaystyle {\big [}n]!_{q}}$	${\displaystyle =\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}}$
	${\displaystyle =[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n-1]_{q}[n]_{q}}$
	${\displaystyle ={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$
	${\displaystyle =1(1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})(1+q+\cdots +q^{n-1})}$
	${\displaystyle ={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$

Estos números son análogos en el sentido de que

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,}$

y asi tambien

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.}$

El valor límite n ! recuentos de permutaciones de un n conjunto -elemento S . De manera equivalente, cuenta el número de secuencias de conjuntos anidados.${\displaystyle E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S}$ tal que ${\displaystyle E_{i}}$contiene exactamente i elementos. ^[4] En comparación, cuando q es una potencia prima y V es un espacio vectorial n- dimensional sobre el campo con q elementos, el q -análogo${\displaystyle [n]!_{q}}$es el número de banderas completas en V , es decir, es el número de secuencias${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$ de subespacios tales que ${\displaystyle V_{i}}$tiene dimensión i . ^[4] Las consideraciones anteriores sugieren que uno puede considerar una secuencia de conjuntos anidados como una bandera sobre un campo conjetural con un elemento .

Un producto de paréntesis q enteros negativos se puede expresar en términos de q -factorial como

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}}$

A partir de los q -factoriales, se puede pasar a definir los q -coeficientes binomiales, también conocidos como coeficientes binomiales gaussianos , como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},}$

donde es fácil ver que el triángulo de estos coeficientes es simétrico en el sentido de que ${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}}$ para todos ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$.

Uno puede comprobar que

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}}$

También se puede ver en las relaciones de recurrencia anteriores que las siguientes variantes de la ${\displaystyle q}$-el teorema del binomio se expanden en términos de estos coeficientes de la siguiente manera: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}}$

Se pueden definir además los q -coeficientes multinomiales

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},}$

donde los argumentos ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}}$ son números enteros no negativos que satisfacen ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}k_{i}=n}$. El coeficiente anterior cuenta el número de banderas${\displaystyle V_{1}\subset \dots \subset V_{m}}$ de subespacios en un espacio vectorial n- dimensional sobre el campo con q elementos tales que${\displaystyle \dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}}$.

El límite ${\displaystyle q\to 1}$ da el coeficiente multinomial habitual ${\displaystyle {n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}}$, que cuenta palabras en n símbolos diferentes${\displaystyle \{s_{1},\dots ,s_{m}\}}$ tal que cada ${\displaystyle s_{i}}$ aparece ${\displaystyle k_{i}}$ veces.

También se obtiene un q -análogo de la función gamma , llamado función q-gamma , y definido como

${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}$

Esto converge a la función gamma habitual cuando q se acerca a 1 desde el interior del disco unitario. Tenga en cuenta que

${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$

para cualquier x y

${\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}.}$

para valores enteros no negativos de n . Alternativamente, esto puede tomarse como una extensión de la función factorial q al sistema de números reales.

Ver también

• Serie hipergeométrica básica
• Función gamma elíptica
• Función theta de Jacobi
• Serie Lambert
• Teorema del número pentagonal
• q -derivado
• q -theta función
• q -identidad de Vandermonde
• Identidades de Rogers-Ramanujan
• Fracción continua de Rogers-Ramanujan

Referencias

1. Berndt, BC "¿Qué es una serie q?" (PDF) .
2. Bruce C. Berndt, ¿Qué es una serie q ? , en Ramanujan Redescubierto: Actas de una conferencia sobre funciones elípticas, particiones y serie q en memoria de K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1 a 5 de junio de 2009, ND Baruah, BC Berndt, S. Cooper, T. Huber y MJ Schlosser, eds., Sociedad Matemática Ramanujan, Mysore, 2010, págs. 31-51
3. Heine, E. "Untersuchungen über die Reihe" .J. Reine Angew. Matemáticas. 34 (1847), 285-328
4. Stanley, Richard P. (2011), Combinatoria enumerativa , 1 (2 ed.), Cambridge University Press, Sección 1.10.2.
5. Olver; et al. (2010). "Sección 17.2". Manual de funciones matemáticas del NIST . pag. 421.

• George Gasper y Mizan Rahman , Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition , (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96 , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4 . 
• Roelof Koekoek y Rene F. Swarttouw, El esquema de Askey de polinomios ortogonales y sus q-análogos , sección 0.2.
• Exton, H. (1983), q-Funciones y aplicaciones hipergeométricas , Nueva York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538   
• MA Olshanetsky y VBK Rogov (1995), Las funciones q-Bessel modificadas y las funciones q-Bessel-Macdonald, arXiv: q-alg / 9509013.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. " q -Analog" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. " q -Bracket" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. " q -Factorial" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. " q -Series" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. " q -Coeficiente binomial" . MathWorld .