En la disciplina matemática del álgebra lineal , la descomposición de Schur o triangulación de Schur , llamada así por Issai Schur , es una descomposición matricial . Permite escribir una matriz cuadrada compleja arbitraria como unitariamente equivalente a una matriz triangular superior cuyos elementos diagonales son los valores propios de la matriz original.
La descomposición de Schur dice lo siguiente: si A es una matriz cuadrada n × n con entradas complejas , entonces A se puede expresar como [1] [2] [3]
donde Q es una matriz unitaria (de modo que su inversa Q −1 es también la transpuesta conjugada Q * de Q ), y U es una matriz triangular superior , que se denomina forma de Schur de A . Como U es similar a A , tiene el mismo espectro , y como es triangular, sus valores propios son las entradas diagonales de U.
La descomposición de Schur implica que existe una secuencia anidada de subespacios A -invariantes {0} = V 0 ⊂ V 1 ⊂ ⋯ ⊂ V n = C n , y que existe una base ortonormal ordenada (para la forma hermitiana estándar de C n ) tal que los primeros vectores de base i abarquen Vi para cada i que ocurra en la secuencia anidada. Expresado de manera algo diferente, la primera parte dice que un operador lineal J en un espacio vectorial complejo de dimensión finitaestabiliza una bandera completa ( V 1 ,…, V n ) .
Una prueba constructiva de la descomposición de Schur es la siguiente: cada operador A en un espacio vectorial complejo de dimensión finita tiene un valor propio λ , correspondiente a algún espacio propio V λ . Sea V λ ⊥ su complemento ortogonal. Está claro que, con respecto a esta descomposición ortogonal, A tiene representación matricial (uno puede elegir aquí cualquier base ortonormal Z 1 y Z 2 que genere V λ y V λ ⊥ respectivamente)
donde I λ es el operador de identidad en V λ . La matriz anterior sería triangular superior excepto por el bloque A 22 . Pero exactamente el mismo procedimiento se puede aplicar a la submatriz A 22 , vista como un operador en V λ ⊥ , y sus submatrices. Continúe de esta manera hasta que la matriz resultante sea triangular superior. Dado que cada conjugación aumenta la dimensión del bloque triangular superior en al menos uno, este proceso toma como máximo n pasos. Por lo tanto, el espacio C n se agotará y el procedimiento habrá dado el resultado deseado.