En matemáticas , suma de Kummer es el nombre que se le da a ciertas sumas cúbicas de Gauss para un módulo primo p , con p congruente con 1 módulo 3. Se nombran en honor a Ernst Kummer , quien hizo una conjetura sobre las propiedades estadísticas de sus argumentos, como números complejos . Estas sumas eran conocidas y utilizadas antes de Kummer, en la teoría de la ciclotomía .
Definición
Por tanto, una suma de Kummer es una suma finita
tomado sobre r módulo p , donde χ es un carácter de Dirichlet que toma valores en las raíces cúbicas de la unidad , y donde e ( x ) es la función exponencial exp (2π ix ). Dada p de la forma requerida, hay dos de estos caracteres, junto con el carácter trivial.
La suma exponencial cúbica K ( n , p ) definida por
se ve fácilmente como una combinación lineal de las sumas de Kummer. De hecho, es 3 P donde P es uno de los períodos gaussianos para el subgrupo del índice 3 en los residuos mod p , bajo multiplicación, mientras que las sumas de Gauss son combinaciones lineales de P con raíces cúbicas de la unidad como coeficientes. Sin embargo, es la suma de Gauss para la que se mantienen las propiedades algebraicas. Estas sumas exponenciales cúbicas también se denominan ahora sumas de Kummer.
Preguntas estadísticas
Se sabe por la teoría general de las sumas de Gauss que
De hecho, se conoce la descomposición principal de G ( χ ) en el campo ciclotómico en el que se encuentra naturalmente, lo que le da una forma más fuerte. Lo que le preocupaba a Kummer era el argumento
de G ( χ ). A diferencia del caso cuadrático, donde se conoce el cuadrado de la suma de Gauss y Gauss determinó la raíz cuadrada precisa, aquí el cubo de G ( χ ) se encuentra en los enteros de Eisenstein , pero su argumento está determinado por el de la división prima de Eisenstein p , que se divide en ese campo.
Kummer hizo una conjetura estadística sobre θ py su distribución módulo 2π (en otras palabras, sobre el argumento de la suma de Kummer en el círculo unitario). Para que eso tenga sentido, uno tiene que elegir entre los dos posibles χ: hay una elección distinguida, de hecho, basada en el símbolo de residuo cúbico . Kummer usó los datos numéricos disponibles para p hasta 500 (esto se describe en el libro de 1892 Theory of Numbers de George B. Mathews ). Sin embargo, existía una "ley de los números pequeños", lo que significa que la conjetura original de Kummer, de falta de distribución uniforme, adolecía de un sesgo de números pequeños. En 1952, John von Neumann y Herman Goldstine ampliaron los cálculos de Kummer en ENIAC . [1]
En el siglo XX, finalmente se avanzó en esta cuestión, que no se había tocado durante más de 100 años. Sobre la base del trabajo de Tomio Kubota , SJ Patterson y Roger Heath-Brown en 1978 refutó la conjetura de Kummer y demostró una forma modificada de la conjetura de Kummer. [2] [3] De hecho, demostraron que había equidistribución de θ p . Este trabajo involucró formas automórficas para el grupo metapléctico y el lema de Vaughan en la teoría analítica de números .
Conjetura de Cassels
JWS Cassels hizo una segunda conjetura sobre las sumas de Kummer , de nuevo basándose en ideas anteriores de Tomio Kubota. Esta fue una fórmula de producto en términos de funciones elípticas con multiplicación compleja por los enteros de Eisenstein. [4] La conjetura fue probada en 1978 por Charles Matthews. [5]
Referencias
- ↑ von Neumann, John; Goldstine, Herman H. (1953). "Un estudio numérico de una conjetura de Kummer" . Matemáticas. Tablas y otras ayudas a la computación . 7 (42): 133-134. doi : 10.1090 / S0025-5718-1953-0055784-0 . Señor 0055784 .
- ^ Heath-Brown, D. Roger; Patterson, Samuel James (1979). "La distribución de sumas de Kummer en argumentos primos". J. Reine Angew. Matemáticas. 310 (310): 111–130. doi : 10.1515 / crll.1979.310.111 . Señor 0546667 .
- ^ Heath-Brown, DR (2000). "Conjetura de Kummer para sumas cúbicas de Gauss" (PDF) . Israel J. Math . 120 : parte A, 97-124. CiteSeerX 10.1.1.215.8362 . doi : 10.1007 / s11856-000-1273-y . Señor 1815372 .[ enlace muerto permanente ]
- ^ Cassels, JWS (1970). "Sobre las sumas de Kummer". Proc. London Math. Soc. Serie 3. 21 : 19-27. doi : 10.1112 / plms / s3-21.1.19 . Señor 0266895 .
- ^ Matthews, Charles R. (1979). "Sumas de Gauss y funciones elípticas. I. La suma de Kummer". Inventar. Matemáticas. 52 (2): 163–185. doi : 10.1007 / BF01403063 . Señor 0536079 .
- Bredikhin, BM (2001) [1994], "Hipótesis de Kummer" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press