En la computación cuántica y específicamente en el modelo de computación del circuito cuántico , una puerta lógica cuántica (o simplemente una puerta cuántica ) es un circuito cuántico básico que opera en una pequeña cantidad de qubits . Son los componentes básicos de los circuitos cuánticos, como lo son las puertas lógicas clásicas para los circuitos digitales convencionales.
A diferencia de muchas puertas lógicas clásicas, las puertas lógicas cuánticas son reversibles . Sin embargo, es posible realizar computación clásica usando solo puertas reversibles. Por ejemplo, la puerta Toffoli reversible puede implementar todas las funciones booleanas, a menudo a costa de tener que usar bits auxiliares . La puerta de Toffoli tiene un equivalente cuántico directo, lo que muestra que los circuitos cuánticos pueden realizar todas las operaciones realizadas por los circuitos clásicos.
Las puertas cuánticas son operadores unitarios y se describen como matrices unitarias en relación con alguna base . Por lo general, usamos la base computacional , que a menos que la comparemos con algo, solo significa que para un sistema cuántico de nivel d (como un qubit , un registro cuántico o qutrits y qudits [1] : 22-23 ) hemos etiquetado los vectores de base ortogonal, o use notación binaria .
Historia
La notación actual para puertas cuánticas fue desarrollada por muchos de los padres fundadores de la ciencia de la información cuántica, incluidos Adriano Barenco, Charles Bennett , Richard Cleve , David P. DiVincenzo , Norman Margolus , Peter Shor , Tycho Sleator , John A. Smolin y Harald Weinfurter. , [2] basándose en la notación introducida por Richard Feynman . [3]
Representación
Las puertas lógicas cuánticas están representadas por matrices unitarias . Una puerta que actúa sobre qubits está representado por unmatriz unitaria, y el conjunto de todas esas puertas con la operación de grupo de multiplicación de matrices [a] es el grupo de simetría U (2 n ) . Los estados cuánticos sobre los que actúan las puertas son vectores unitarios en dimensiones complejas , donde la norma es el módulo al cuadrado. Los vectores base son los posibles resultados si se miden , y un estado cuántico es una combinación lineal de estos resultados. Las puertas cuánticas más comunes operan en espacios de uno o dos qubits, al igual que las puertas lógicas clásicas comunes operan en uno o dos bits.
Los estados cuánticos se representan típicamente por "kets", de una notación matemática conocida como bra-ket .
La representación vectorial de un solo qubit es:
Aquí, y son las amplitudes de probabilidad complejas del qubit. Estos valores determinan la probabilidad de medir un 0 o un 1, al medir el estado del qubit. Consulte la medida a continuación para obtener más detalles.
El valor cero está representado por el ket , y el valor uno está representado por el ket.
El producto tensorial (o producto de Kronecker ) se utiliza para combinar estados cuánticos. El estado combinado de dos qubits es el producto tensorial de los dos qubits. El producto tensorial se denota con el símbolo.
La representación vectorial de dos qubits es:
La acción de la puerta en un estado cuántico específico se encuentra multiplicando el vector que representa el estado, por la matriz representando la puerta. El resultado es un nuevo estado cuántico:
Ejemplos notables
Existe un número infinito de puertas. Algunos de ellos han sido nombrados por varios autores, [1] [4] [5] [6] [7] [8] y a continuación siguen algunos de los más utilizados en la literatura.
Puerta de identidad
La puerta de identidad es la matriz de identidad , generalmente escrita como I , y se define para un solo qubit como
donde I es independiente de la base y no modifica el estado cuántico. La puerta de identidad es más útil cuando se describe matemáticamente el resultado de varias operaciones de puerta o cuando se habla de circuitos de varios qubits.
Puertas Pauli ( X , Y , Z )
Las puertas de Pauli son las tres matrices de Pauli y actuar sobre un solo qubit. El Pauli X , Y y Z equivalen, respectivamente, a una rotación alrededor de los ejes x , y y z de la esfera de Bloch por radianes.
La puerta Pauli X es el equivalente cuántico de la puerta NOT para las computadoras clásicas con respecto a la base estándar., , que distingue el eje z en la esfera de Bloch . A veces se le llama bit-flip ya que se asigna a y a . Del mismo modo, la Pauli- Y mapas a y a . Pauli Z abandona el estado base sin cambios y mapas a . Debido a esta naturaleza, a veces se le llama cambio de fase.
Estas matrices generalmente se representan como
Las matrices de Pauli son involutivas , lo que significa que el cuadrado de una matriz de Pauli es la matriz de identidad .
Las matrices de Pauli también anticonmutan , por ejemplo .
Raíz cuadrada de la puerta NOT ( √ NOT )
La raíz cuadrada de NOT gate (o raíz cuadrada de Pauli- X ,) actúa en un solo qubit. Traza el estado base a y a . En forma de matriz está dada por
- ,
tal que
Esta operación representa una rotación de π / 2 alrededor del eje x en la esfera de Bloch.
Puertas controladas
Las puertas controladas actúan sobre 2 o más qubits, donde uno o más qubits actúan como control para alguna operación. [2] Por ejemplo, la puerta NOT controlada (o CNOT o CX) actúa en 2 qubits, y realiza la operación NOT en el segundo qubit solo cuando el primer qubit esy , de lo contrario , lo deja sin cambios. Con respecto a la base, , , , está representado por la matriz:
La puerta CNOT (o Pauli X controlada ) se puede describir como la puerta que mapea los estados base, dónde es XOR .
De manera más general, si U es una puerta que opera en qubits únicos con representación matricial
entonces la puerta U controlada es una puerta que opera en dos qubits de tal manera que el primer qubit sirve como control. Traza los estados base de la siguiente manera.
La matriz que representa la U controlada es
Cuando U es uno de los operadores de Pauli, X , Y , Z , a veces se utilizan los términos respectivos " X controlado ", " Y controlado " o " Z controlado ". [4] : 177-185 veces esto se acorta a simplemente C X , C Y y C Z .
Puertas de cambio de fase
El cambio de fase es una familia de puertas de un solo qubit que mapean los estados base y . La probabilidad de medir un o no cambia después de aplicar esta puerta, sin embargo, modifica la fase del estado cuántico. Esto es equivalente a trazar condicionalmente un círculo horizontal (una línea de latitud) en la esfera de Bloch porradianes. [b] La puerta de desplazamiento de fase está representada por la matriz:
dónde es el cambio de fase con el período 2π . Algunos ejemplos comunes son la puerta T donde, la puerta de fase (escrito S , aunque S a veces se usa para puertas SWAP) dondey la puerta Pauli- Z donde.
Las puertas de cambio de fase están relacionadas entre sí de la siguiente manera:
- por todo real excepto 0 [c]
El argumento de la puerta de desplazamiento de fase está en U (1) , y la puerta realiza una rotación de fase en U (1) a lo largo del eje base especificado (p. Ej. rota la fase sobre el -eje) . U (1) es un subgrupo de U (n) y contiene la fase del sistema cuántico. Extensióna una rotación sobre una fase genérica de ambos ejes de un sistema cuántico de 2 niveles (un qubit ) se puede hacer con un circuito en serie :. Cuándoesta puerta es el operador de rotación portón. [D]
Presentamos la puerta de fase global [e] también tenemos la identidad. [2] : 11 [1] : 77–83
Puertas de cambio de fase arbitrarias de un solo qubit están disponibles de forma nativa para los procesadores cuánticos transmon mediante la sincronización de los pulsos de control de microondas. [9]
Cambio de fase controlado
La puerta de desplazamiento de fase controlada de 2 qubit es:
Con respecto a la base computacional, cambia la fase con solo si actúa sobre el estado :
La puerta CZ es el caso especial donde.
Puertas de operador de rotación
Las puertas del operador de rotación y son las matrices de rotación analógicas en tres ejes cartesianos de SO (3) , los ejes en la proyección de la esfera de Bloch :
Como las matrices de Pauli están relacionadas con el generador de rotaciones, estos operadores de rotación se pueden escribir como matrices exponenciales con matrices de Pauli en el argumento. Alguna La matriz unitaria en SU (2) se puede escribir como un producto (es decir , circuito en serie ) de tres puertas de rotación o menos. Tenga en cuenta que para sistemas de dos niveles como qubits y espinores , estas rotaciones tienen un período de 4π . Una rotación de 2π (360 grados) devuelve el mismo vector de estado con una fase diferente. [10]
También tenemos y para todos
Las matrices de rotación se relacionan con las matrices de Pauli de la siguiente manera:
Puerta de Hadamard
La puerta de Hadamard ( francés: [adamaʁ] ) actúa sobre un solo qubit. Traza el estado base a y a , lo que significa que una medición tendrá las mismas probabilidades de resultar en 1 o 0 (es decir, crea una superposición ). Representa una rotación de sobre el eje en la esfera de Bloch . Está representado por la matriz de Hadamard :
H es una matriz involutiva . Usando operadores de rotación , tenemos las identidades: y La puerta H controlada también se puede definir como se explica en la sección de puertas controladas .
La puerta de Hadamard se puede pensar como una transformación unitaria que mapea las operaciones de qubit en el eje z con el eje x y viceversa. Por ejemplo,, , y .
Puerta de intercambio
La puerta de intercambio intercambia dos qubits. Con respecto a la base, , , , está representado por la matriz:
Raíz cuadrada de la puerta de intercambio
La puerta √ SWAP realiza la mitad de un intercambio de dos qubit. Es universal, de modo que cualquier puerta de muchos qubit se puede construir a partir de solo √ SWAP y puertas de un solo qubit. El √ SWAP puerta no es, sin embargo como máximo de enredo; se requiere más de una aplicación para producir un estado Bell a partir de los estados del producto. Con respecto a la base, , , , está representado por la matriz:
Esta puerta surge naturalmente en sistemas que explotan la interacción de intercambio . [11] [12]
Puerta de Toffoli (CCNOT)
La puerta de Toffoli, que lleva el nombre de Tommaso Toffoli ; también llamada puerta CCNOT o puerta Deutsch ; es una puerta de 3 bits, que es universal para la computación clásica pero no para la computación cuántica. La puerta cuántica de Toffoli es la misma puerta, definida para 3 qubits. Si nos limitamos a aceptar solo qubits de entrada que sean y , entonces si los dos primeros bits están en el estadoaplica un Pauli- X (o NOT) en el tercer bit, de lo contrario no hace nada. Es un ejemplo de puerta controlada. Dado que es el análogo cuántico de una puerta clásica, está completamente especificado por su tabla de verdad. La puerta Toffoli es universal cuando se combina con la puerta Hadamard de un solo qubit. [13]
Mesa de la verdad | Forma de matriz | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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La puerta de Toffoli está relacionada con el clásico AND () y XOR () operaciones mientras realiza el mapeo sobre estados en la base computacional.
Puerta Fredkin (CSWAP)
La puerta Fredkin (también CSWAP o puerta CS), que lleva el nombre de Edward Fredkin , es una puerta de 3 bits que realiza un intercambio controlado . Es universal para la computación clásica. Tiene la propiedad útil de que los números de 0 y 1 se conservan en todo momento, lo que en el modelo de bola de billar significa que se produce la misma cantidad de bolas como entrada.
Mesa de la verdad | Forma de matriz | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Ising puertas de acoplamiento
Las puertas de acoplamiento Ising R xx , R yy y R zz son puertas 2-qubit que se implementan de forma nativa en algunos ordenadores cuánticos de iones atrapados . [14] [15] Estas puertas se definen como
- [dieciséis]
Intercambio imaginario (iSWAP)
Para sistemas con interacciones similares a Ising, a veces es más natural introducir el intercambio imaginario [17] o la puerta iSWAP definida como [18] [19]
donde su versión de raíz cuadrada viene dada por
Puerta de Deutsch
El Deutsch (o ), que lleva el nombre del físico David Deutsch, es una puerta de tres qubits. Se define como
Desafortunadamente, una puerta Deutsch en funcionamiento se ha mantenido fuera de alcance debido a la falta de un protocolo. Hay algunas propuestas para realizar una puerta Deutsch con interacción dipolo-dipolo en átomos neutros. [20]
Puertas cuánticas universales
Un conjunto de puertas cuánticas universales es cualquier conjunto de puertas a las que se puede reducir cualquier operación posible en una computadora cuántica, es decir, cualquier otra operación unitaria puede expresarse como una secuencia finita de puertas del conjunto. Técnicamente, esto es imposible con algo menos que un incontable conjunto de puertas, ya que el número de posibles puertas cuánticas es incontable, mientras que el número de secuencias finitas de un conjunto finito es contable . Para resolver este problema, solo necesitamos que cualquier operación cuántica pueda aproximarse mediante una secuencia de puertas de este conjunto finito. Además, para los unitarios en un número constante de qubits, el teorema de Solovay-Kitaev garantiza que esto se puede hacer de manera eficiente.
Los operadores de rotación R x ( θ ) , R y ( θ ) , R z ( θ ) , la puerta de desplazamiento de fase P ( φ ) y CNOT forman un conjunto universal de puertas cuánticas ampliamente utilizado. [12]
Un conjunto de puerta común universal es el Clifford + T conjunto puerta, que se compone de los CNOT, H , S y T puertas. El conjunto de Clifford por sí solo no es universal y puede simularse de manera clásica de manera eficiente mediante el teorema de Gottesman-Knill .
La puerta Toffoli forma un conjunto de puertas universales para circuitos lógicos reversibles. Se puede construir un conjunto de dos puertas de puertas cuánticas universales que contienen una puerta Toffoli agregando la puerta Hadamard al conjunto. [21]
También se puede formular un conjunto de puertas cuánticas universales de una sola puerta utilizando la puerta Deutsch de tres qubit . [22]
Una puerta lógica universal para la computación clásica reversible, la puerta Toffoli, se puede reducir a la puerta Deutsch, , mostrando así que todas las operaciones lógicas clásicas reversibles se pueden realizar en una computadora cuántica universal.
También existe una única puerta de dos qubits suficiente para la universalidad, dado que se puede aplicar a cualquier par de qubits. en un circuito de ancho . [23]
Composición del circuito
Puertas cableadas en serie
Suponga que tenemos dos puertas A y B , que ambas actúan sobrequbits. Cuando B se pone después de A en un circuito en serie, entonces el efecto de las dos puertas se puede describir como una sola puerta C .
Dónde es la multiplicación de matrices . La puerta resultante C tendrá las mismas dimensiones que A y B . El orden en el que aparecerían las puertas en un diagrama de circuito se invierte al multiplicarlas. [4] : 17–18,22–23,62–64 [5] : 147–169
Por ejemplo, poner la puerta Pauli X después de la puerta Pauli Y , las cuales actúan en un solo qubit, se puede describir como una sola puerta C combinada :
El símbolo del producto () a menudo se omite.
Exponentes de puertas cuánticas
Todos los exponentes reales de matrices unitarias son también matrices unitarias, y todas las puertas cuánticas son matrices unitarias.
Los exponentes enteros positivos son equivalentes a secuencias de puertas conectadas en serie (p. Ej. ), y los exponentes reales es una generalización del circuito en serie. Por ejemplo, y son ambas puertas cuánticas válidas.
para cualquier matriz unitaria . La matriz de identidad () actúa como un NOP y puede representarse como cable desnudo en circuitos cuánticos, o no mostrarse en absoluto.
Todas las puertas son matrices unitarias, de modo que y , dondees la transposición conjugada . Esto significa que los exponentes negativos de puertas son inversos unitarios de sus contrapartes exponenciadas positivamente:. Por ejemplo, algunos exponentes negativos de las puertas de cambio de fase son y .
Puertas paralelas
El producto tensorial (o producto de Kronecker ) de dos puertas cuánticas es la puerta que es igual a las dos puertas en paralelo. [4] : 71–75 [5] : 148
Si, como en la imagen, combinamos la puerta Pauli Y con la puerta Pauli X en paralelo, entonces esto se puede escribir como:
Tanto la puerta Pauli X como la Pauli Y actúan sobre un solo qubit. La puerta resultante actuar en dos qubits.
Transformada de Hadamard
La puerta es la puerta de Hadamard () aplicado en paralelo en 2 qubits. Puede escribirse como:
Esta "puerta Hadamard paralela de dos qubit" se aplicará, por ejemplo, al vector cero de dos qubit (), crea un estado cuántico que tiene la misma probabilidad de ser observado en cualquiera de sus cuatro posibles resultados;, , , y. Podemos escribir esta operación como:
Aquí la amplitud para cada estado medible es 1 ⁄ 2 . La probabilidad de observar cualquier estado es el cuadrado del valor absoluto de la amplitud de los estados medibles, lo que en el ejemplo anterior significa que hay uno de cada cuatro en los que observamos cualquiera de los cuatro casos individuales. Consulte la medida para obtener más detalles.
realiza la transformación de Hadamard en dos qubits. Del mismo modo, la puertarealiza una transformación de Hadamard en un registro de qubits.
Cuando se aplica a un registro de qubits todos inicializados a , la transformada de Hadamard coloca el registro cuántico en una superposición con la misma probabilidad de ser medido en cualquiera de sus estados posibles:
Este estado es una superposición uniforme y se genera como primer paso en algunos algoritmos de búsqueda, por ejemplo en la amplificación de amplitud y estimación de fase .
La medición de este estado da como resultado un número aleatorio entre y . [f] Cuán aleatorio es el número depende de la fidelidad de las puertas lógicas. Si no se mide, es un estado cuántico con la misma amplitud de probabilidad. para cada uno de sus posibles estados.
La transformada de Hadamard actúa sobre un registro con qubits tales que como sigue:
Aplicación en estados entrelazados
Si dos o más qubits se ven como un solo estado cuántico, este estado combinado es igual al producto tensorial de los qubits constituyentes. Cualquier estado que pueda escribirse como un producto tensorial de los subsistemas constituyentes se denomina estados separables ( estados puros ). Por otro lado, un estado entrelazado es cualquier estado que no puede ser factorizado por tensor, o en otras palabras: un estado entrelazado no puede escribirse como un producto tensorial de sus estados qubits constituyentes. Se debe tener especial cuidado al aplicar puertas a qubits constituyentes que forman estados entrelazados.
Si tenemos un conjunto de N qubits que están entrelazados y deseamos aplicar una puerta cuántica en M < N qubits en el conjunto, tendremos que extender la puerta para tomar N qubits. Esta aplicación se puede hacer combinando la puerta con una matriz de identidad de modo que su producto tensorial se convierta en una puerta que actúe sobre N qubits. La matriz de identidad () es una representación de la puerta que asigna cada estado a sí mismo (es decir, no hace nada en absoluto). En un diagrama de circuito, la puerta o matriz de identidad a menudo aparecerá como un cable desnudo.
Por ejemplo, la puerta de Hadamard () actúa sobre un solo qubit, pero si por ejemplo lo alimentamos con el primero de los dos qubits que constituyen el estado de Bell entrelazado , no podemos escribir esa operación fácilmente. Necesitamos extender la puerta de Hadamard con la puerta de la identidad para que podamos actuar sobre estados cuánticos que abarcan dos qubits:
La puerta ahora se puede aplicar a cualquier estado de dos qubit, entrelazado o no. La puertadejará el segundo qubit intacto y aplicará la transformada de Hadamard al primer qubit. Si se aplica al estado de Bell en nuestro ejemplo, podemos escribirlo como:
Complejidad computacional y producto tensorial
La complejidad del tiempo para multiplicar dos-matrices es al menos , [24] si se utiliza una máquina clásica. Porque el tamaño de una puerta que opera en qubits es significa que el tiempo para simular un paso en un circuito cuántico (mediante la multiplicación de las puertas) que opera en estados genéricos entrelazados es . Por esta razón, se cree que es imposible simular grandes sistemas cuánticos entrelazados utilizando computadoras clásicas. Sin embargo, los subconjuntos de las puertas, como las puertas Clifford , se pueden simular de manera eficiente en computadoras clásicas.
El vector de estado de un registro cuántico con qubits es entradas complejas. Almacenar las amplitudes de probabilidad como una lista de valores de coma flotante no es manejable para grandes.
Inversión unitaria de puertas
Debido a que todas las puertas lógicas cuánticas son reversibles , cualquier composición de múltiples puertas también es reversible. Todos los productos y productos tensoriales (es decir , combinaciones en serie y en paralelo ) de matrices unitarias también son matrices unitarias. Esto significa que es posible construir un inverso de todos los algoritmos y funciones, siempre que contengan solo puertas.
La inicialización, la medición, la E / S y la decoherencia espontánea son efectos secundarios en las computadoras cuánticas. Sin embargo, las puertas son puramente funcionales y biyectivas .
Si es una matriz unitaria , entonces y . La daga () denota el conjugado complejo de la transpuesta . También se le llama adjunto hermitiano .
Si una función es un producto de puertas , el inverso unitario de la función se puede construir:
Porque tenemos, después de repetidas aplicaciones sobre sí mismo
Del mismo modo, si la función consta de dos puertas y en paralelo, entonces y .
Las puertas que son sus propias inversas unitarias se denominan operadores hermitianos o autoadjuntos . Algunas puertas elementales como las puertas Hadamard ( H ) y Pauli ( I , X , Y , Z ) son operadores hermitianos, mientras que otras como las puertas de cambio de fase ( S , T , P , CPHASE) generalmente no lo son. Las puertas que no son hermitianas a veces se denominan operadores oblicuos-hermitianos o adjuntos .
Por ejemplo, un algoritmo para la suma se puede utilizar para la resta, si se está "ejecutando al revés", como su inverso unitario. La transformada cuántica de Fourier inversa es la inversa unitaria. Las inversas unitarias también se pueden utilizar para el cálculo . Los lenguajes de programación de ordenadores cuánticos, tales como Microsoft 's Q # [25] y de Bernhard Ömer QCL [26] : 61 , contienen inversión de función que los conceptos de programación.
Medición
La medición (a veces llamada observación ) es irreversible y, por lo tanto, no es una puerta cuántica, porque asigna el estado cuántico observado a un solo valor. La medición toma un estado cuántico y lo proyecta a uno de los vectores base , con una probabilidad igual al cuadrado de la profundidad del vector (la norma es el módulo al cuadrado) a lo largo de ese vector base. [1] : 15-17 [27] [28] [29] Esto se conoce como la regla de Born y aparece [f] como una operación estocástica no reversible, ya que establece probabilísticamente el estado cuántico igual al vector base que representa el estado medido (el estado "colapsa" a un valor único definido). Por qué y cómo, o incluso si [30] [31] el estado cuántico colapsa en la medición, se denomina problema de medición .
La probabilidad de medir un valor con amplitud de probabilidad. es , dondees el módulo .
Midiendo un solo qubit, cuyo estado cuántico está representado por el vector , resultará en con probabilidad , Y en con probabilidad .
Por ejemplo, medir un qubit con el estado cuántico rendirá con la misma probabilidad ya sea o .
Un estado cuántico que abarca n qubits se puede escribir como un vector en dimensiones complejas :. Esto se debe a que el producto tensorial de n qubits es un vector endimensiones. De esta forma, un registro de n qubits se puede medir paraestados distintos, similar a cómo un registro de n bits clásicos puede contenerestados distintos. A diferencia de los bits de las computadoras clásicas, los estados cuánticos pueden tener amplitudes de probabilidad distintas de cero en múltiples valores mensurables simultáneamente. A esto se le llama superposición .
La suma de todas las probabilidades para todos los resultados siempre debe ser igual a 1 . [g] Otra forma de decir esto es que el teorema de Pitágoras se generalizó a tiene que todos los estados cuánticos con n qubits debe satisfacer, donde es la amplitud de probabilidad para el estado medible . Una interpretación geométrica de esto es que el posible espacio de valores de un estado cuánticocon n qubits es la superficie de una esfera unitaria eny que las transformaciones unitarias (es decir, las puertas lógicas cuánticas) que se le aplican son rotaciones en la esfera. Las rotaciones que realizan las puertas están en el grupo de simetría U (2 n ) . La medición es entonces una proyección probabilística de los puntos en la superficie de esta esfera compleja sobre los vectores base que abarcan el espacio (y etiqueta los resultados).
En muchos casos, el espacio se representa como un espacio de Hilbert. en lugar de algunos específicos -Espacio complejo dimensional. El número de dimensiones (definidas por los vectores base y, por lo tanto, también los posibles resultados de la medición) a menudo está implícito en los operandos, por ejemplo, como el espacio de estado requerido para resolver un problema . En el algoritmo de Grover , Lov nombró a este conjunto de vectores de base genérica "la base de datos" .
La selección de vectores base contra para medir un estado cuántico influirá en el resultado de la medición. [1] : 30–35 [4] : 22,84–85,185–188 [32] Ver entropía de Von Neumann para más detalles. En este artículo, siempre usamos la base computacional , lo que significa que hemos etiquetado elvectores base de un registro de n- qubit , o usa la representación binaria .
En el dominio de la computación cuántica, generalmente se asume que los vectores base constituyen una base ortonormal .
Un ejemplo de uso de una base de medición alternativa está en el cifrado BB84 .
El efecto de la medición en estados entrelazados
Si dos estados cuánticos (es decir , qubits o registros ) están entrelazados (lo que significa que su estado combinado no se puede expresar como un producto tensorial ), la medición de un registro afecta o revela el estado del otro registro colapsando parcial o totalmente su estado también. Este efecto se puede utilizar para cálculos y se utiliza en muchos algoritmos.
La combinación Hadamard-CNOT actúa en el estado cero de la siguiente manera:
Este estado resultante es el estado Bell . No se puede describir como un producto tensorial de dos qubits. No hay solucion para
porque, por ejemplo, w debe ser distinto de cero y cero en el caso de xw e yw .
El estado cuántico abarca los dos qubits. A esto se le llama entrelazamiento . Medir uno de los dos qubits que componen este estado de Bell resultará en que el otro qubit lógicamente debe tener el mismo valor, ambos deben ser iguales: O se encontrará en el estado, o en el estado. Si medimos uno de los qubits para que sea por ejemplo, entonces el otro qubit también debe ser, porque su estado combinado se convirtió . La medición de uno de los qubits colapsa todo el estado cuántico, que abarca los dos qubits.
El estado GHZ es un estado cuántico entrelazado similar que abarca tres o más qubits.
Este tipo de asignación de valor se produce instantáneamente a cualquier distancia y, a partir de 2018, QUESS lo ha verificado experimentalmente para distancias de hasta 1200 kilómetros. [33] [34] [35] Que los fenómenos parecen ocurrir instantáneamente en lugar del tiempo que tomaría recorrer la distancia que separa los qubits a la velocidad de la luz se llama la paradoja EPR , y es una cuestión abierta en física. cómo resolver esto. Originalmente se resolvió renunciando al supuesto del realismo local , pero también han surgido otras interpretaciones . Para obtener más información, consulte los experimentos de prueba de Bell . El teorema de la no comunicación demuestra que este fenómeno no se puede utilizar para una comunicación de información clásica más rápida que la luz .
Medición en registros con qubits entrelazados por pares
Tome un registro A con n qubits todos inicializados a, Y se alimentan a través de una puerta de Hadamard paralelo . El registro A entrará en el estado que tienen la misma probabilidad de que, cuando se midan, estén en cualquiera de sus estados posibles; a . Tome un segundo registro B, también con n qubits inicializados ay CNOT por pares sus qubits con los qubits en el registro A, de modo que para cada p los qubits y forma el estado .
Si ahora medimos los qubits en el registro A, entonces se encontrará que el registro B contiene el mismo valor que A. Si, en cambio, aplicamos una puerta de lógica cuántica F en A y luego medimos, entonces, dondees la inversa unitaria de F .
Debido a cómo actúan las inversas unitarias de las puertas ,. Por ejemplo, di, luego .
La igualdad se mantendrá sin importar en qué orden se realice la medición (en los registros A o B), asumiendo que F se ha completado. La medición puede incluso ser entrelazada aleatoria y concurrentemente qubit por qubit, ya que la asignación de medidas de un qubit limitará el posible valor-espacio de los otros qubits entrelazados.
Aunque las igualdades se mantienen, las probabilidades de medir los posibles resultados pueden cambiar como resultado de la aplicación de F , como puede ser la intención en un algoritmo de búsqueda cuántica.
Este efecto de compartir el valor a través del entrelazamiento se utiliza en el algoritmo de Shor , la estimación de fase y en el conteo cuántico . El uso de la transformada de Fourier para amplificar las amplitudes de probabilidad de los estados de solución para algún problema es un método genérico conocido como " pesca de Fourier ".
Síntesis de funciones lógicas
Las funciones y rutinas que solo usan puertas pueden describirse como matrices, al igual que las puertas más pequeñas. La matriz que representa una función cuántica que actúa sobre los qubits tienen el tamaño . Por ejemplo, una función que actúa sobre un "qubyte" (un registro de 8 qubits) se describiría como una matriz con elementos.
Las transformaciones unitarias que no están en el conjunto de puertas disponibles de forma nativa en la computadora cuántica (las puertas primitivas) pueden sintetizarse, o aproximarse, combinando las puertas primitivas disponibles en un circuito . Una forma de hacerlo es factorizar la matriz que codifica la transformación unitaria en un producto de productos tensoriales (es decir , circuitos en serie y en paralelo ) de las puertas primitivas disponibles. El grupo U (2 q ) es el grupo de simetría de las puertas que actúan sobrequbits. [2] La factorización es entonces el problema de encontrar un camino en U (2 q ) a partir del conjunto generador de puertas primitivas. El teorema de Solovay-Kitaev muestra que dado un conjunto suficiente de puertas primitivas, existe una aproximación eficiente para cualquier puerta. Para el caso general con un gran número de qubits, este enfoque directo de la síntesis de circuitos es intratable . [36] [37]
Debido a la naturaleza unitaria de las puertas , todas las funciones deben ser reversibles y siempre ser mapeos biyectivos de entrada a salida. Siempre debe existir una función tal que . Las funciones que no son invertibles se pueden convertir en invertibles agregando ancilla qubits a la entrada o la salida, o ambas. Una vez que la función se ha ejecutado hasta su finalización, los qubits de ancilla pueden quedar sin calcular o sin tocar. Medir o colapsar de otro modo el estado cuántico de un qubit ancilla (por ejemplo, reinicializando el valor del mismo, o por su decoherencia espontánea ) que no se han calculado puede resultar en errores, [38] [39] ya que su estado puede estar entrelazado con los qubits que todavía se utilizan en los cálculos.
Operaciones lógicamente irreversibles, por ejemplo módulo de adición de dos -qubit registra ayb, , [h] se puede hacer lógicamente reversible agregando información a la salida, de modo que la entrada se pueda calcular a partir de la salida (es decir, existe una función). En nuestro ejemplo, esto se puede hacer pasando uno de los registros de entrada a la salida:. La salida se puede utilizar para calcular la entrada (es decir, dada la salida y , podemos encontrar fácilmente la entrada; se da y ) y la función se convierte en biyectiva.
Todas las expresiones algebraicas booleanas se pueden codificar como transformadas unitarias (puertas de lógica cuántica), por ejemplo, utilizando combinaciones de las puertas Pauli-X , CNOT y Toffoli . Estas puertas están funcionalmente completas en el dominio de la lógica booleana.
Hay muchas transformaciones unitarias disponibles en las bibliotecas de Q # , QCL , Qiskit y otros lenguajes de programación cuántica . También aparece en la literatura. [40] [41]
Por ejemplo, , dónde es el número de qubits que constituye el registro , se implementa de la siguiente manera en QCL: [42] [26]
cond qufunct inc ( qureg x ) { // registro de incremento int i ; para i = # x -1 a 0 paso -1 { CNot ( x [ i ], x [ 0 :: i ]); // aplicar no controlado desde } // MSB a LSB }
En QCL, la disminución se realiza "deshaciendo" el incremento. El operador de deshacer !
se usa para ejecutar el inverso unitario de la función. !inc(x)
es el inverso de inc(x)
y en su lugar realiza la operación.
En el modelo de computación utilizado en este artículo (el modelo de circuito cuántico ), una computadora clásica genera la composición de la puerta para la computadora cuántica, y la computadora cuántica actúa como un coprocesador que recibe instrucciones de la computadora clásica sobre qué puertas primitivas aplicar. que qubits. [26] : 36–43 [43] La medición de registros cuánticos da como resultado valores binarios que la computadora clásica puede usar en sus cálculos. Los algoritmos cuánticos a menudo contienen tanto una parte clásica como una cuántica. La E / S no medida (enviar qubits a computadoras remotas sin colapsar sus estados cuánticos) se puede utilizar para crear redes de computadoras cuánticas . El intercambio de entrelazamientos se puede utilizar para realizar algoritmos distribuidos con computadoras cuánticas que no están conectadas directamente. Ejemplos de algoritmos distribuidos que solo requieren el uso de un puñado de puertas lógicas cuánticas son la codificación superdensa , el acuerdo bizantino cuántico y el protocolo de intercambio de claves de cifrado BB84 .
Ver también
- Computación cuántica adiabática
- Autómata celular y autómata celular cuántico
- Computación clásica y computación cuántica
- Puerta lógica clásica , lógica conectiva y cuántica
- Computación cuántica basada en la nube
- Teoría de la complejidad computacional y BQP
- Definición contrafáctica y cálculo contrafáctico
- Criterios de DiVincenzo y volumen cuántico
- Principio de Landauer y cálculo reversible , decoherencia
- Formulación matemática de la mecánica cuántica
- Teoría de la información , información cuántica y entropía de Von Neumann
- Efecto Pauli y Sincronicidad
- Matrices de Pauli
- Algoritmos cuánticos
- Circuito cuántico
- Corrección de errores cuánticos
- Autómatas finitos cuánticos
- Memoria cuántica
- Red cuántica y canal cuántico
- Estado cuántico
- U (2 q ) y SU (2 q ) donde es el número de qubits sobre los que actúan las puertas
- Transformaciones unitarias en mecánica cuántica
- Efecto zeno
Notas
- ^ La multiplicación de matrices de puertas cuánticas se define como circuitos en serie .
- ^ También se puede pensar en cortar la esfera de Bloch en el plano X / Y (el ecuador) y luego girar solo uno de los dos hemisferios de la esfera de Bloch (p. Ej. gira el -hemisferio), dejando el otro hemisferio sin cambios.
- ^ dónde es la transposición conjugada (o adjunto hermitiano )
- ^ Cuándo , dónde es la transposición conjugada (o adjunto hermitiano ).
- ^ También:
- ^ a b Si esto es realmente un efecto estocástico depende de qué interpretación de la mecánica cuántica sea la correcta (y si alguna interpretación puede ser correcta). Por ejemplo, la teoría de De Broglie-Bohm y la interpretación de los muchos mundos afirman el determinismo . (En la interpretación de los mundos múltiples, una computadora cuántica es una máquina que ejecuta programas ( circuitos cuánticos ) que selecciona una realidad donde la probabilidad de que tenga los estados de solución de un problema es grande. Es decir, la máquina la mayoría de las veces existe en una realidad donde da la respuesta correcta. Sin embargo, esta interpretación no cambia la mecánica por la que opera la máquina).
- ^ Ver axiomas de probabilidad § Segundo axioma
- ^ La entrada es qubits, pero la salida es solo qubits. El borrado de información no es una operación reversible (o unitaria ) y, por lo tanto, no está permitido. Véase también el principio de Landauer .
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