En matemáticas , en el campo del análisis tropical , el logaritmo de semiring es la estructura de semiring en la escala logarítmica , obtenida considerando los números reales extendidos como logaritmos . Es decir, las operaciones de suma y multiplicación se definen por conjugación : exponenciar los números reales, obtener un número positivo (o cero), sumar o multiplicar estos números con las operaciones algebraicas ordinarias sobre números reales, y luego tomar el logaritmo para invertir el exponenciación inicial. Estas operaciones también se conocen como, por ejemplo,suma logarítmica , etc. Como es habitual en el análisis tropical, las operaciones se indican con ⊕ y ⊗ para distinguirlas de la adición + y la multiplicación × (o ⋅) habituales. Estas operaciones dependen de la elección de la base b para el exponente y el logaritmo ( b es una opción de unidad logarítmica ), que corresponde a un factor de escala, y están bien definidas para cualquier base positiva distinta de 1; usar una base b <1 es equivalente a usar un signo negativo y usar la inversa 1 / b > 1 . [a] Si no está calificado, la base se toma convencionalmente como e o 1 / e , que corresponde a e con un negativo.
El semirrígido de troncos tiene como límite el semirrígido tropical (" tropicalización ", "descuantificación") ya que la base llega al infinito( max-plus semiring ) o a cero( min-plus semiring ), y por lo tanto puede verse como una deformación ("cuantificación") del semiring tropical. En particular, la operación de adición, logadd (para varios términos, LogSumExp ) se puede ver como una deformación máxima o mínima . El semirremolque de troncos tiene aplicaciones en optimización matemática , ya que reemplaza el máximo y mínimo no suave por un funcionamiento suave. El logaritmo de semirremolque también surge cuando se trabaja con números que son logaritmos (medidos en una escala logarítmica ), como decibelios (ver Decibel § Suma ), probabilidad logarítmica o verosimilitudes logarítmicas .
Definición
Las operaciones en el semiring de registro se pueden definir extrínsecamente asignándolas a los números reales no negativos, realizando las operaciones allí y mapeándolas de nuevo. Los números reales no negativos con las operaciones habituales de suma y multiplicación forman un semiring (no hay negativos), conocido como el semiring de probabilidad , por lo que las operaciones log semiring pueden verse como retrocesos de las operaciones en el semiring de probabilidad, y estos son isomorfos como anillos.
Formalmente, dados los números reales extendidos R ∪ {–∞, + ∞ } [b] y una base b ≠ 1 , se define:
Tenga en cuenta que independientemente de la base, la multiplicación logarítmica es igual que la suma habitual, , dado que los logaritmos llevan la multiplicación a la suma; sin embargo, la adición de registros depende de la base. Las unidades para la suma y la multiplicación habituales son 0 y 1; en consecuencia, la unidad para la adición de logaritmos es por y por , y la unidad para la multiplicación logarítmica es , independientemente de la base.
De manera más concisa, el semiring de registro unitario se puede definir para la base e como:
con unidad aditiva −∞ y unidad multiplicativa 0; esto corresponde a la convención máxima.
La convención opuesta también es común, y corresponde a la base 1 / e , la convención mínima: [1]
con unidad aditiva + ∞ y unidad multiplicativa 0.
Propiedades
Un semirrígido logarítmico es de hecho un semicampo , ya que todos los números que no sean la unidad aditiva −∞ (o + ∞ ) tienen un inverso multiplicativo, dado por desde Por lo tanto, la división logarítmica ⊘ está bien definida, aunque la sustracción logarítmica ⊖ no siempre está definida.
Una media puede definirse mediante la suma y la división logarítmicas (como la media cuasi aritmética correspondiente al exponente), como
Tenga en cuenta que esto es solo una adición desplazada por ya que la división logarítmica corresponde a la resta lineal.
Un semirrígido logarítmico tiene la métrica euclidiana habitual, que corresponde a la escala logarítmica de los números reales positivos .
De manera similar, un semiring de logaritmo tiene la medida de Lebesgue habitual , que es una medida invariante con respecto a la multiplicación de logaritmos (suma habitual, traslación geométrica) que corresponde a la medida logarítmica en el semiring de probabilidad .
Ver también
Notas
Referencias
- ^ Lothaire 2005 , p. 211.
- Lothaire, M. (2005). Combinatoria aplicada sobre palabras . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 105 . Una obra colectiva de Jean Berstel, Dominique Perrin, Maxime Crochemore, Eric Laporte, Mehryar Mohri, Nadia Pisanti, Marie-France Sagot, Gesine Reinert , Sophie Schbath , Michael Waterman, Philippe Jacquet, Wojciech Szpankowski , Dominique Poulalhon, Gilles Schaeffer, Roman Kolpakov , Gregory Koucherov, Jean-Paul Allouche y Valérie Berthé . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-84802-4. Zbl 1133.68067 .