En matemáticas , un campo cuasi-finito [1] es una generalización de un campo finito . La teoría de campo de clase local estándar generalmente se ocupa de campos valuados completos cuyo campo de residuo es finito (es decir , campos locales no arquimedianos ), pero la teoría se aplica igualmente bien cuando el campo de residuo sólo se supone cuasi-finito. [2]
Definicion formal
Un campo cuasi-finito es un campo perfecto K junto con un isomorfismo de grupos topológicos
donde K s es un cierre algebraico de K (necesariamente separable porque K es perfecto). La extensión de campo K s / K es infinita y, en consecuencia , el grupo de Galois recibe la topología de Krull . El grupoes la compleción profinita de números enteros con respecto a sus subgrupos de índice finito.
Esta definición equivale a decir que K tiene una extensión única (necesariamente cíclica ) K n de grado n para cada número entero n ≥ 1, y que la unión de estas extensiones es igual a K s . [3] Además, como parte de la estructura del campo cuasi-finito, existe un generador F n para cada Gal ( K n / K ), y los generadores deben ser coherentes , en el sentido de que si n divide m , el la restricción de F m a K n es igual a F n .
Ejemplos de
El ejemplo más básico, que motiva la definición, es el campo finito K = GF ( q ). Tiene una extensión cíclica única de grado n , a saber, K n = GF ( q n ). La unión de K n es el cierre algebraico K s . Tomamos F n como el elemento de Frobenius ; es decir, F n ( x ) = x q .
Otro ejemplo es K = C (( T )), el anillo de la serie formal de Laurent en T sobre el campo C de números complejos . (Estas son simplemente series de potencias formales en las que también permitimos un número finito de términos de grado negativo). Entonces, K tiene una extensión cíclica única
de grado n para cada n ≥ 1, cuya unión es un cierre algebraico de K llamado el campo de la serie de Puiseux , y que un generador de Gal ( K n / K ) está dado por
Esta construcción funciona si C se reemplaza por cualquier campo C algebraicamente cerrado de característica cero. [4]
Notas
- ↑ ( Artin & Tate 2009 , §XI.3) dicen que el campo satisface el "axioma de Moriya"
- ↑ Como lo muestra Mikao Moriya ( Serre 1979 , capítulo XIII, p. 188)
- ^ ( Serre 1979 , §XIII.2 ejercicio 1, p. 192)
- ↑ ( Serre 1979 , §XIII.2, p. 191)
Referencias
- Artin, Emil ; Tate, John (2009) [1967], teoría del campo de clases , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4426-7, MR 2467155 , Zbl 1179.11040
- Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields , Graduate Texts in Mathematics , 67 , traducido por Greenberg, Marvin Jay , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90424-7, MR 0554237 , Zbl 0.423,12016