En matemáticas , la integral de Bochner , llamada así por Salomon Bochner , extiende la definición de integral de Lebesgue a funciones que toman valores en un espacio de Banach , como el límite de integrales de funciones simples .
Definición
Sea ( X , Σ, μ) un espacio de medida y B un espacio de Banach . La integral de Bochner de una funciónse define de la misma manera que la integral de Lebesgue. Primero, defina una función simple como cualquier suma finita de la forma
donde el E i son miembros disjuntos de la σ-álgebra Σ, la b i son elementos distintos de B , y χ E es la función característica de E . Si μ ( E i ) es finito siempre que b i ≠ 0, entonces la función simple es integrable y la integral se define por
exactamente como lo es para la integral de Lebesgue ordinaria.
Una función medible ƒ: X → B es integrable de Bochner si existe una secuencia de funciones simples integrables s n tal que
donde la integral del lado izquierdo es una integral de Lebesgue ordinaria.
En este caso, la integral de Bochner se define por
Se puede demostrar que la secuencia es una secuencia de Cauchy en el espacio de Banach, de ahí que exista el límite del derecho; además, el límite es independiente de la secuencia aproximada de funciones simples. Estas observaciones muestran que la integral está bien definida (es decir, independiente de cualquier elección). Se puede demostrar que una función es integrable de Bochner si y solo si se encuentra en el espacio de Bochner .
Propiedades
Muchas de las propiedades familiares de la integral de Lebesgue continúan siendo válidas para la integral de Bochner. Particularmente útil es el criterio de integrabilidad de Bochner, que establece que si ( X , Σ, μ) es un espacio de medida, entonces una función medible de Bochner ƒ : X → B es integrable de Bochner si y solo si
Una función ƒ : X → B se llama Bochner-mensurable si es igual μ-casi en todas partes a una función g que toma valores en un subespacio separable B 0 de B , y tal que la imagen inversa g −1 ( U ) de cada abierto el conjunto U en B pertenece a Σ. De manera equivalente, f es límite μ, casi en todas partes de una secuencia de funciones simples.
Si es un operador lineal continuo, y es Bochner-integrable, entonces es Bochner-integrable y la integración y pueden intercambiarse:
Esto también se aplica a los operadores cerrados, dado que ser integrable en sí mismo (lo cual, a través del criterio mencionado anteriormente, es trivialmente cierto para ).
Una versión del teorema de la convergencia dominada también es válida para la integral de Bochner. Específicamente, si ƒ n : X → B es una secuencia de funciones medibles en un espacio de medida completo que tiende casi en todas partes a una función límite ƒ , y si
para casi todo x ∈ X , y g ∈ L 1 (μ) , entonces
como n → ∞ y
para todo E ∈ Σ.
Si f es integrable de Bochner, entonces la desigualdad
es válido para todos los E ∈ Σ. En particular, la función de ajuste
define un numerable-aditivo B -valued medida vector en X que es absolutamente continua con respecto a μ.
Propiedad Radon-Nikodym
Un hecho importante sobre la integral de Bochner es que el teorema de Radon-Nikodym no se cumple en general. Esto da como resultado una propiedad importante de los espacios de Banach conocida como propiedad Radon-Nikodym. Específicamente, si μ es una medida en ( X , Σ), entonces B tiene la propiedad Radon-Nikodym con respecto a μ si, para cada medida vectorial aditiva contable en ( X , Σ) con valores en B que tiene variación acotada y es absolutamente continua con respecto a μ, hay una función μ-integrable g : X → B tal que
para cada conjunto medible E ∈ Σ. [1]
El espacio de Banach B tiene la propiedad Radon-Nikodym si B tiene la propiedad Radon-Nikodym con respecto a cada medida finita. Se sabe que el espacio tiene la propiedad Radon-Nikodym, pero y los espacios , , por un subconjunto acotado abierto de , y , para K un espacio compacto infinito, no. Los espacios con propiedad Radon-Nikodym incluyen espacios duales separables (este es el teorema de Dunford-Pettis ) y espacios reflexivos , que incluyen, en particular, espacios de Hilbert .
Ver también
Referencias
- ^ Bárcenas, Diómedes (2003). "El teorema del radón-Nikodym para los espacios reflexivos de Banach" (PDF) . Divulgaciones Matemáticas . 11 (1): 55–59 [págs. 55–56].
- Bochner, Salomon (1933), "Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 20 : 262–276
- Cohn, Donald (2013), teoría de la medida , textos avanzados de Birkhäuser Basler Lehrbücher, Springer, doi : 10.1007 / 978-1-4614-6956-8 , ISBN 978-1-4614-6955-1
- Yosida, Kôsaku (1980), Análisis funcional , Clásicos en matemáticas, 123 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-61859-8 , ISBN 978-3-540-58654-8
- Diestel, Joseph (1984), Secuencias y series en espacios de Banach , Textos de posgrado en matemáticas, 92 , Springer, doi : 10.1007 / 978-1-4612-5200-9 , ISBN 978-0-387-90859-5
- Diestel; Uhl (1977), medidas vectoriales , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1515-1
- Hille, Einar; Phillips, Ralph (1957), Análisis funcional y semigrupos , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1031-6
- Lang, Serge (1993), Análisis real y funcional (3.a ed.), Springer, ISBN 978-0387940014
- Sobolev, VI (2001) [1994], "Integral de Bochner" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- van Dulst, D. (2001) [1994], "Medidas vectoriales" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press