En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de secuencia es un espacio vectorial cuyos elementos son secuencias infinitas de números reales o complejos . De manera equivalente, es un espacio funcional cuyos elementos son funciones desde los números naturales hasta el campo K de números reales o complejos. El conjunto de todas estas funciones se identifica naturalmente con el conjunto de todas las posibles secuencias infinitas con elementos en K , y puede convertirse en un espacio vectorial bajo las operaciones desuma puntual de funciones y multiplicación escalar puntual. Todos los espacios de secuencia son subespacios lineales de este espacio. Los espacios de secuencia suelen estar equipados con una norma , o al menos la estructura de un espacio vectorial topológico .
Las mayoría de los espacios de secuencias importantes en el análisis son los l p espacios, que consiste en la p -power secuencias sumable, con el p -norma. Estos son casos especiales de espacios L p para la medida de conteo en el conjunto de números naturales. Otras clases importantes de secuencias, como las secuencias convergentes o las secuencias nulas, forman espacios de secuencia, denominados respectivamente c y c 0 , con la norma sup . Cualquier espacio de secuencia también puede equiparse con la topología de convergencia puntual , bajo la cual se convierte en un tipo especial de espacio de Fréchet llamado espacio FK .
Definición
Una secuencia en un set es solo un -mapa valorado cuyo valor en se denota por en lugar de la notación habitual entre paréntesis
Espacio de todas las secuencias
Dejar denotar el campo de números reales o complejos. El producto denota el conjunto de todas las secuencias de escalares en Este conjunto puede convertirse en un espacio vectorial cuando la suma de vectores está definida por
y la multiplicación escalar se define por
Un espacio de secuencia es cualquier subespacio lineal de
Como espacio topológico, está naturalmente dotado de la topología del producto . Bajo esta topología,es Fréchet , lo que significa que es un espacio vectorial topológico (TVS) completo , metrizable y localmente convexo . Sin embargo, esta topología es bastante patológica: no existen normas continuas sobre(y por tanto la topología del producto no puede ser definida por ninguna norma ). [1] Entre los espacios Fréchet, es mínimo al no tener normas continuas:
Teorema [1] - Seaser un espacio de Fréchet sobre Entonces los siguientes son equivalentes:
- no admite ninguna norma continua (es decir, cualquier seminorma continua sobre tiene un espacio nulo no trivial).
- contiene un vector subespacial TVS-isomorfo a .
- contiene un subespacio vectorial complementado TVS-isomorfo a .
Pero la topología del producto también es inevitable: no admite una topología localmente convexa de Hausdorff estrictamente más tosca . [1] Por esa razón, el estudio de secuencias comienza por encontrar un subespacio lineal estricto de interés, y dotándolo de una topología diferente a la topología del subespacio .
ℓ p espacios
Para es el subespacio de que consta de todas las secuencias satisfactorio
Si luego la operación de valor real definido por
define una norma sobre De echo, es un espacio métrico completo con respecto a esta norma, y por lo tanto es un espacio de Banach .
Si luego no lleva una norma, sino una métrica definida por
Si luego se define como el espacio de todas las secuencias acotadas dotadas de la norma
es también un espacio de Banach.
c , c 0 y c 00
El espacio de sucesiones convergentes c es un espacio de sucesiones. Esto consta de todostal que lim n → ∞ x n existe. Como toda secuencia convergente está acotada, c es un subespacio lineal de. Es, además, un subespacio cerrado con respecto a la norma del infinito y, por tanto, un espacio de Banach por derecho propio.
El subespacio de secuencias nulas c 0 consta de todas las secuencias cuyo límite es cero. Este es un subespacio cerrado de c , y de nuevo un espacio de Banach.
El subespacio de las secuencias eventualmente cero c 00 consta de todas las secuencias que tienen sólo un número finito de elementos distintos de cero. Este no es un subespacio cerrado y por lo tanto no es un espacio de Banach (con respecto a la norma de infinito). Por ejemplo, la secuencia dónde Por el primero entradas (para ) y es cero en cualquier otro lugar (es decir) es Cauchy , pero no converge a una secuencia en c 00 .
Espacio de todas las secuencias finitas
Dejar
- ,
denotar el espacio de secuencias finitas sobre . Como espacio vectorial, es igual a , pero tiene una topología diferente.
Por cada número natural , dejadenotar el espacio euclidiano habitual dotado de la topología euclidiana y dejar denotar la inclusión canónica
- .
La imagen de cada inclusión es
y consecuentemente,
Esta familia de inclusiones da una topología final , definida como la mejor topología ende modo que todas las inclusiones sean continuas (un ejemplo de una topología coherente ). Con esta topología,se convierte en una completa , Hausdorff , localmente convexa , secuencial , espacio topológico vectorial que es no Fréchet-Urysohn . La topologiatambién es estrictamente más fina que la topología subespacial inducida en por .
Convergencia en tiene una descripción natural: si y es una secuencia en luego en si y solo eventualmente está contenido en una sola imagen y bajo la topología natural de esa imagen.
A menudo, cada imagen se identifica con el correspondiente ; explícitamente, los elementos y son identificados. Esto se ve facilitado por el hecho de que la topología del subespacio en, la topología del cociente del mapa , y la topología euclidiana en todos coinciden. Con esta identificación,es el límite directo del sistema dirigido donde cada inclusión agrega ceros finales:
- .
Esta espectáculos es un LB-espacio .
Otros espacios de secuencia
El espacio de series acotadas , denotado por bs , es el espacio de sucesiones para cual
Este espacio, cuando está equipado con la norma.
es un espacio de Banach isométricamente isomorfo a a través del mapeo lineal
El subespacio cs que consta de todas las series convergentes es un subespacio que pasa al espacio c bajo este isomorfismo.
El espacio Φ o se define como el espacio de todas las sucesiones infinitas con sólo un número finito de términos distintos de cero (sucesiones con soporte finito ). Este conjunto es denso en muchos espacios de secuencia.
Propiedades de los espacios ℓ p y el espacio c 0
El espacio ℓ 2 es el único espacio ℓ p que es un espacio de Hilbert , ya que cualquier norma inducida por un producto interno debe satisfacer la ley del paralelogramo
Sustituyendo dos vectores unitarios distintos para x y Y directamente muestra que la identidad no es cierto a menos que p = 2.
Cada ℓ p es distinto, ya que ℓ p es un subconjunto estricto de ℓ s siempre que p < s ; además, ℓ p no es linealmente isomorfo a ℓ s cuando p ≠ s . De hecho, según el teorema de Pitt ( Pitt 1936 ), todo operador lineal acotado de ℓ sa ℓ p es compacto cuando p < s . Ningún operador de este tipo puede ser un isomorfismo; y además, no puede ser un isomorfismo en ningún subespacio de dimensión infinita de ℓ s , por lo que se dice que es estrictamente singular .
Si 1 < p <∞, entonces el espacio dual (continuo) de ℓ p es isomórfico isomórfico a ℓ q , donde q es el conjugado de Hölder de p : 1 / p + 1 / q = 1. El isomorfismo específico se asocia a un elemento x de ℓ q el funcional
para y en ℓ p . La desigualdad de Hölder implica que L x es una funcional lineal acotada en ℓ p , y de hecho
para que la norma del operador satisfaga
De hecho, tomando y como el elemento de ℓ p con
da L x ( y ) = || x || q , de modo que de hecho
Por el contrario, dado un L funcional lineal acotado en ℓ p , la secuencia definida por x n = L ( e n ) se encuentra en ℓ q . Por lo tanto, el mapeo da una isometría
El mapa
obtenido al componer κ p con la inversa de su transpuesta coincide con la inyección canónica de ℓ q en su doble dual . Como consecuencia, ℓ q es un espacio reflexivo . Por abuso de notación , es típico identificar ℓ q con el dual de ℓ p : (ℓ p ) * = ℓ q . Entonces, la reflexividad se entiende por la secuencia de identificaciones (ℓ p ) ** = (ℓ q ) * = ℓ p .
El espacio c 0 se define como el espacio de todas las sucesiones que convergen a cero, con norma idéntica a || x || ∞ . Es un subespacio cerrado de ℓ ∞ , por lo tanto, un espacio de Banach. El dual de c 0 es ℓ 1 ; el dual de ℓ 1 es ℓ ∞ . Para el caso de números de conjunto de índices natural, la ℓ p y c 0 son separable , con la única excepción de ℓ ∞ . El dual de ℓ ∞ es el espacio ba .
Los espacios c 0 y ℓ p (para 1 ≤ p <∞) tienen una base de Schauder canónica incondicional { e i | i = 1, 2, ...}, donde e i es la secuencia que es cero pero para un 1 en la i- ésima entrada.
El espacio ℓ 1 tiene la propiedad de Schur : En ℓ 1 , cualquier secuencia que sea débilmente convergente también es fuertemente convergente ( Schur 1921 ). Sin embargo, dado que la topología débil en espacios de dimensión infinita es estrictamente más débil que la topología fuerte , hay redes en ℓ 1 que son convergentes débiles pero no convergentes fuertes.
Los espacios ℓ p se pueden incrustar en muchos espacios de Banach . La pregunta de si cada espacio de Banach de dimensión infinita contiene un isomorfo de algún ℓ p o de c 0 , fue respondida negativamente por la construcción de BS Tsirelson del espacio de Tsirelson en 1974. El enunciado dual, que cada espacio de Banach separable es linealmente isométrico a un espacio de cociente de ℓ 1 , fue respondida afirmativamente por Banach & Mazur (1933) . Es decir, para cada espacio de Banach separable X , existe un mapa de cocientes, por lo que X es isomorfo a. En general, ker Q no se complementa en ℓ 1 , es decir, no existe un subespacio Y de ℓ 1 tal que. De hecho, ℓ 1 tiene incontables subespacios no complementados que no son isomórficos entre sí (por ejemplo, tome; dado que hay innumerables X de este tipo , y dado que ninguna ℓ p es isomorfa a ninguna otra, hay innumerables ker Q 's).
Excepto por el caso trivial de dimensión finita, una característica inusual de ℓ p es que no es polinomialmente reflexiva .
ℓ p espacios aumentan en p
Para , los espacios están aumentando en , siendo el operador de inclusión continuo: para , uno tiene .
Esto se sigue de definir por , y notando que para todos , que se puede demostrar que implica .
Propiedades de ℓ 1 espacios
Una secuencia de elementos en ℓ 1 converge en el espacio de secuencias complejas ℓ 1 si y solo si converge débilmente en este espacio. [2] Si K es un subconjunto de este espacio, los siguientes son equivalentes: [2]
- K es compacto;
- K es débilmente compacto;
- K está acotado, cerrado y equispequeño en el infinito.
Aquí, siendo K equispequeño en el infinito, significa que para cada, existe un número natural tal que para todos .
Ver también
- L p espacio
- Espacio Tsirelson
- espacio beta-dual
- Espacio de secuencia de Orlicz
Referencias
- ↑ a b c Jarchow , 1981 , págs. 129-130.
- ↑ a b Trèves , 2006 , págs. 451-458.
Bibliografía
- Banach, Stefan; Mazur, S. (1933), "Zur Theorie der linearen Dimension", Studia Mathematica , 4 : 100-112.
- Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Operadores lineales, volumen I , Wiley-Interscience.
- Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Pitt, HR (1936), "Una nota sobre formas bilineales", J. London Math. Soc. , 11 (3): 174–180, doi : 10.1112 / jlms / s1-11.3.174.
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Schur, J. (1921), "Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 151 : 79-111, doi : 10.1515 / crll.1921.151.79.
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .