En matemáticas , los espacios de Bochner son una generalización del concepto de espacios L p a funciones cuyos valores se encuentran en un espacio de Banach que no es necesariamente el espacio R o C de números reales o complejos.
El espacio L p (X) consta de (clases de equivalencia de) todas las funciones medibles de Bochner f con valores en el espacio de Banach X cuya norma || f || X se encuentra en el espacio L p estándar . Por tanto, si X es el conjunto de números complejos, es el espacio estándar L p de Lebesgue .
Casi todos los resultados estándar en espacios L p también se mantienen en espacios de Bochner; en particular, los espacios de Bochner L p (X) son espacios de Banach para.
Fondo
Los espacios de Bochner llevan el nombre del matemático polaco - estadounidense Salomon Bochner .
Aplicaciones
Los espacios de Bochner se utilizan a menudo en el enfoque de análisis funcional para el estudio de ecuaciones diferenciales parciales que dependen del tiempo, por ejemplo, la ecuación de calor : si la temperatura es una función escalar del tiempo y el espacio, se puede escribir para hacer f una familia f (t) (parametrizada por el tiempo) de funciones del espacio, posiblemente en algún espacio de Bochner.
Definición
Dado un espacio de medida ( T , Σ, μ ), un espacio de Banach ( X , || · || X ) y 1 ≤ p ≤ + ∞, el espacio de Bochner L p ( T ; X ) se define como el cociente de Kolmogorov (por igualdad en casi todas partes ) del espacio de todas las funciones medibles de Bochner u : T → X tal que la norma correspondiente es finita:
En otras palabras, como es habitual en el estudio de L p espacios, L p ( T ; X ) es un espacio de clases de equivalencia de funciones, donde dos funciones se definen para ser equivalente si son iguales en todas partes excepto en una μ - medida cero subconjunto de T . Como también es habitual en el estudio de dichos espacios, es habitual abusar de la notación y hablar de una "función" en L p ( T ; X ) en lugar de una clase de equivalencia (que sería más técnicamente correcto).
Aplicación a la teoría PDE
Muy a menudo, el espacio T es un intervalo de tiempo durante el cual deseamos resolver alguna ecuación diferencial parcial, y μ será una medida de Lebesgue unidimensional . La idea es considerar una función del tiempo y el espacio como un conjunto de funciones del espacio, estando este conjunto parametrizado por el tiempo. Por ejemplo, en la solución de la ecuación de calor en una región Ω en R n y un intervalo de tiempo [0, T ], se buscan soluciones
con derivada del tiempo
Aquí denota el espacio de Sobolev Hilbert de funciones que alguna vez fueron débilmente diferenciables con la primera derivada débil en L ² (Ω) que desaparecen en el límite de Ω (en el sentido de traza o, de manera equivalente, son límites de funciones suaves con soporte compacto en Ω) ;denota el espacio dual de.
(La " derivada parcial " con respecto al tiempo t anterior es en realidad una derivada total , ya que el uso de espacios de Bochner elimina la dependencia del espacio).
Ver también
Referencias
- Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-0772-2.