En matemáticas , la integral de Pettis o integral de Gelfand-Pettis , llamada así por Israel M. Gelfand y Billy James Pettis , amplía la definición de la integral de Lebesgue a funciones con valores vectoriales en un espacio de medida , explotando la dualidad . Gelfand introdujo la integral para el caso en el que el espacio de medida es un intervalo con la medida de Lebesgue . La integral también se llama integral débil en contraste con la integral de Bochner , que es la integral fuerte.
Dejar dónde es un espacio de medida y es un espacio vectorial topológico (TVS) con un espacio dual continuo que separa puntos (es decir, si es distinto de cero, entonces hay algo tal que ), p.ej es un espacio normado o (más generalmente) es un TVS localmente convexo de Hausdorff . La evaluación de un funcional puede escribirse como un emparejamiento de dualidad :
El mapa se llama débilmente mensurable si para todos, el mapa con valores escalares es un mapa medible . Un mapa débilmente mensurablese dice que es débilmente integrable en si existe alguna tal que para todos , el mapa con valores escalares es Lebesgue integrable (es decir,) y
El mapa se dice que es Pettis integrable si para todos y tambien para cada existe un vector tal que para todos
En este caso, llamamos la integral Pettis de en Notaciones comunes para la integral Pettis incluir
Para comprender la motivación detrás de la definición de "débilmente integrable", considere el caso especial donde es el campo escalar subyacente; eso es donde o En este caso, cada funcional lineal en es de la forma para algunos escalares (es decir, es solo una multiplicación escalar por una constante), la condición
simplifica a
En particular, en este caso especial, es débilmente integrable en si y solo si es Lebesgue integrable.
- Una consecuencia inmediata de la definición es que las integrales de Pettis son compatibles con operadores lineales continuos: Si es lineal y continua y es Pettis integrable, entonces Pettis también es integrable y:
- La estimación estándar
para funciones de valor real y complejo se generaliza a integrales de Pettis en el siguiente sentido: Para todos los seminormas continuos y todos los Pettis integrables , sostiene. El lado derecho es la integral de Lebesgue inferior de un-función valorada, es decir Es necesario tomar una integral de Lebesgue más baja porque el integrando puede no ser mensurable. Esto se sigue del teorema de Hahn-Banach porque para cada vector debe haber un funcional continuo tal que y para todos , . Aplicando esto a da el resultado.
Teorema del valor medio
Una propiedad importante es que la integral de Pettis con respecto a una medida finita está contenida en el cierre del casco convexo de los valores escalados por la medida del dominio de integración:
Esto es una consecuencia del teorema de Hahn-Banach y generaliza el teorema del valor medio para integrales de funciones con valores reales : Si, entonces los conjuntos convexos cerrados son simplemente intervalos y para, las desigualdades
mantener.
Existencia
- Si es de dimensión finita entonces Pettis es integrable si y solo si cada uno de los Las coordenadas de Lebesgue son integrables.
- Si es Pettis integrable y es un subconjunto medible de , entonces por definición y también son Pettis integrables y
- Si es un espacio topológico, es Borel--álgebra ,una medida de Borel que asigna valores finitos a subconjuntos compactos,es cuasi-completo (es decir, toda red de Cauchy acotada converge) y si es continuo con soporte compacto, entonces es Pettis integrable.
- De manera más general: si es débilmente mensurable y existe un compacto, convexo y un conjunto nulo tal que , a continuación, es Pettis-integrable.
Dejar ser un espacio de probabilidad, y sea ser un espacio vectorial topológico con un espacio dual que separa puntos. Dejar ser una secuencia de variables aleatorias integrables de Pettis, y escribir para la integral Pettis de (encima ). Tenga en cuenta que es un vector (no aleatorio) en y no es un valor escalar.
Dejar
denotar el promedio de la muestra. Por linealidad, es Pettis integrable, y
Suponga que las sumas parciales
convergen absolutamente en la topología de , en el sentido de que todos los reordenamientos de la suma convergen en un solo vector . La ley débil de los grandes números implica que para cada funcional . Como consecuencia,en la topología débil en.
Sin más supuestos, es posible que no converge a . [ cita requerida ] Para lograr una fuerte convergencia, se necesitan más supuestos. [ cita requerida ]