En matemáticas , una medida vectorial es una función definida en una familia de conjuntos y que toma valores vectoriales que satisfacen ciertas propiedades. Es una generalización del concepto de medida finita , que solo toma valores reales no negativos .
Definiciones y primeras consecuencias
Dado un campo de conjuntos y un espacio Banach , una medida vectorial finitamente aditiva (o medida , para abreviar) es una funcióntal que para dos conjuntos separados y en uno tiene
Una medida vectorial se llama aditivo contable si para cualquier secuencia de conjuntos disjuntos en de tal manera que su unión está en sostiene eso
con la serie del lado derecho convergente en la norma del espacio de Banach
Se puede demostrar que una medida de vector aditivo es contablemente aditivo si y solo si para cualquier secuencia como arriba uno tiene
dónde es la norma en
Las medidas vectoriales contablemente aditivas definidas en sigma-álgebras son más generales que las medidas finitas , las medidas finitas con signo y las medidas complejas , que son funciones contablemente aditivas que toman valores respectivamente en el intervalo real.el conjunto de números reales y el conjunto de números complejos .
Ejemplos de
Considere el campo de conjuntos formado por el intervalo junto con la familia de todos los conjuntos mensurables de Lebesgue contenidos en este intervalo. Para cualquier conjunto de este tipo, definir
dónde es la función indicadora de Dependiendo de donde se declara que toma valores, obtenemos dos resultados diferentes.
- visto como una función de al espacio L p es una medida vectorial que no es contablemente aditiva.
- visto como una función de al espacio L p es una medida vectorial aditiva contable.
Ambas afirmaciones se derivan con bastante facilidad del criterio (*) indicado anteriormente.
La variación de una medida vectorial
Dada una medida vectorial la variación de Se define como
donde el supremo se hace cargo de todas las particiones
de en un número finito de conjuntos disjuntos, para todos en . Aquí, es la norma en
La variación de es una función finitamente aditiva que toma valores en Sostiene que
para cualquier en Si es finito, la medida se dice que es de variación limitada . Uno puede probar que si es una medida vectorial de variación acotada, entonces es contablemente aditivo si y solo si es contablemente aditivo.
Teorema de Lyapunov
En la teoría de medidas vectoriales, el teorema de Lyapunov establece que el rango de una medida vectorial ( no atómica ) de dimensión finita es cerrado y convexo . [1] [2] [3] De hecho, el rango de una medida vectorial no atómica es un zonoide (el conjunto cerrado y convexo que es el límite de una secuencia convergente de zonótopos ). [2] Se utiliza en economía , [4] [5] [6] en teoría de control ( "bang-bang" ) , [1] [3] [7] [8] y en teoría estadística . [8] El teorema de Lyapunov ha sido probado usando el lema de Shapley-Folkman , [9] que ha sido visto como un análogo discreto del teorema de Lyapunov. [8] [10] [11]
Referencias
- ^ a b Kluvánek, I. , Knowles, G., Medidas vectoriales y sistemas de control , Estudios de matemáticas de Holanda Septentrional 20 , Amsterdam, 1976.
- ^ a b Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. (1977). Medidas vectoriales . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1515-6.
- ^ a b Rolewicz, Stefan (1987). Teoría del análisis y control funcional: Sistemas lineales . Matemáticas y sus aplicaciones (Serie de Europa del Este). 29 (Traducido del polaco por Ewa Bednarczuk ed.). Dordrecht; Varsovia: D. Reidel Publishing Co .; PWN — Editores científicos polacos. págs. xvi + 524. ISBN 90-277-2186-6. Señor 0920371 . OCLC 13064804 .
- ^ Roberts, John (julio de 1986). "Grandes economías". En David M. Kreps ; John Roberts ; Robert B. Wilson (eds.). Contribuciones al nuevo Palgrave (PDF) . Trabajo de investigación. 892 . Palo Alto, CA: Escuela de Graduados en Negocios, Universidad de Stanford. págs. 30–35. (Borrador de artículos para la primera edición del New Palgrave Dictionary of Economics ) . Consultado el 7 de febrero de 2011 .
- ^ Aumann, Robert J. (enero de 1966). "Existencia de equilibrio competitivo en mercados con un continuo de comerciantes". Econometrica . 34 (1): 1-17. doi : 10.2307 / 1909854 . JSTOR 1909854 . Señor 0191623 . Este documento se basa en dos documentos de Aumann:
Aumann, Robert J. (enero-abril de 1964). "Mercados con un continuo de comerciantes". Econometrica . 32 (1–2): 39–50. doi : 10.2307 / 1913732 . JSTOR 1913732 . Señor 0172689 .
Aumann, Robert J. (agosto de 1965). "Integrales de funciones de valor establecido". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 12 (1): 1–12. doi : 10.1016 / 0022-247X (65) 90049-1 . Señor 0185073 .
- ^ Vind, Karl (mayo de 1964). "Asignaciones de Edgeworth en una economía de intercambio con muchos comerciantes". Revista económica internacional . 5 (2). págs. 165–77. JSTOR 2525560 .El artículo de Vind fue señalado por Debreu (1991 , p. 4) con este comentario:
El concepto de conjunto convexo (es decir, un conjunto que contiene el segmento que conecta dos de sus puntos) se había colocado repetidamente en el centro de la teoría económica antes de 1964. Apareció bajo una nueva luz con la introducción de la teoría de la integración en el estudio de Competencia económica: si uno asocia con cada agente de una economía un conjunto arbitrario en el espacio de la mercancía y si promedia esos conjuntos individuales sobre una colección de agentes insignificantes, entonces el conjunto resultante es necesariamente convexo . [Debreu añade esta nota al pie de página: "Sobre esta consecuencia directa de un teorema de A. A. Lyapunov, véase Vind (1964) ."] Pero las explicaciones de las ... funciones de los precios ... pueden basarse en la convexidad de los conjuntos derivados por ese proceso de promediado . La convexidad en el espacio de la mercancía obtenida por agregación sobre una colección de agentes insignificantes es una idea que la teoría económica debe ... a la teoría de la integración. [ Cursiva agregada ]
Debreu, Gérard (marzo de 1991). "La matemática de la teoría económica". The American Economic Review . 81, número 1 (Discurso presidencial pronunciado en la 103ª reunión de la American Economic Association, 29 de diciembre de 1990, Washington, DC). págs. 1-7. JSTOR 2006785 .
- ^ Hermes, Henry; LaSalle, Joseph P. (1969). Análisis funcional y control óptimo del tiempo . Matemáticas en Ciencias e Ingeniería. 56 . Nueva York — Londres: Academic Press. págs. viii + 136. Señor 0420366 .
- ^ a b c Artstein, Zvi (1980). “Bang-bang y espacios faciales discretos y continuos, o bien: Busque los puntos extremos”. Revisión SIAM . 22 (2). págs. 172-185. doi : 10.1137 / 1022026 . JSTOR 2029960 . Señor 0564562 .
- ^ Tardella, Fabio (1990). "Una nueva prueba del teorema de convexidad de Lyapunov". Revista SIAM de Control y Optimización . 28 (2). págs. 478–481. doi : 10.1137 / 0328026 . Señor 1040471 .
- ^ Starr, Ross M. (2008). "Teorema de Shapley-Folkman". En Durlauf, Steven N .; Blume, Lawrence E., ed. (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Segunda ed.). Palgrave Macmillan. págs. 317–318 (1ª ed.). doi : 10.1057 / 9780230226203.1518 . ISBN 978-0-333-78676-5.
- ^ Página 210: Mas-Colell, Andreu (1978). "Una nota sobre el teorema de equivalencia central: ¿Cuántas coaliciones de bloqueo hay?". Revista de Economía Matemática . 5 (3). págs. 207–215. doi : 10.1016 / 0304-4068 (78) 90010-1 . Señor 0514468 .
Libros
- Cohn, Donald L. (1997) [1980]. Teoría de la medida (reimpresión ed.). Boston – Basilea – Stuttgart: Birkhäuser Verlag . págs. IX + 373. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl 0436.28001 .
- Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. (1977). Medidas vectoriales . Encuestas matemáticas. 15 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. xiii + 322. ISBN 0-8218-1515-6.
- Kluvánek, I. , Knowles, G, Medidas vectoriales y sistemas de control , North-Holland Mathematics Studies 20 , Amsterdam, 1976.
- van Dulst, D. (2001) [1994], "Medidas vectoriales" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Rudin, W. (1973). Análisis funcional . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 114 .
Ver también
- Integral de Bochner