Integración Lebesgue-Stieltjes
En el análisis teórico de la medida y ramas relacionadas de las matemáticas , la integración de Lebesgue-Stieltjes generaliza la integración de Riemann-Stieltjes y Lebesgue , conservando las muchas ventajas de la primera en un marco teórico de la medida más general. La integral de Lebesgue-Stieltjes es la integral ordinaria de Lebesgue respecto a una medida conocida como medida de Lebesgue-Stieltjes, que puede estar asociada a cualquier función de variación acotada sobre la recta real. La medida de Lebesgue-Stieltjes es una medida regular de Borel y, a la inversa, toda medida regular de Borel en la línea real es de este tipo.
Las integrales de Lebesgue-Stieltjes , llamadas así por Henri Leon Lebesgue y Thomas Joannes Stieltjes , también se conocen como integrales de Lebesgue-Radon o simplemente integrales de Radon , en honor a Johann Radon , a quien se debe gran parte de la teoría. Encuentran una aplicación común en la probabilidad y los procesos estocásticos , y en ciertas ramas del análisis, incluida la teoría del potencial .
se define cuando es Borel - medible y acotado y tiene una variación acotada en [ a , b ] y continua por la derecha, o cuando f no es negativa y g es monótona y continua por la derecha . Para empezar, suponga que f no es negativa y que g es monótona, no decreciente y continua por la derecha. Defina w (( s , t ]) = g ( t ) − g ( s ) y w ({ a }) = 0 (Alternativamente, la construcción funciona para g continuo a la izquierda, w ([ s , t )) = g ( t ) − g ( s ) y w ({ b }) = 0 ) .
![{\displaystyle f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7389d8db17cdee4544f4401b572eb1a7efd9baa8)
![{\displaystyle g:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23f865d2d71ab226b3e6d934d89f5efa3c39b02c)
Por el teorema de extensión de Carathéodory , existe una única medida de Borel μ g en [ a , b ] que concuerda con w en cada intervalo I. La medida μ g surge de una medida exterior (de hecho, una medida exterior métrica ) dada por
el ínfimo ocupa todas las cubiertas de E por muchos intervalos semiabiertos numerables. Esta medida a veces se llama [1] la medida de Lebesgue-Stieltjes asociada con g .
se define como la integral de Lebesgue de f con respecto a la medida μ g de la forma habitual. Si g no es creciente, entonces defina