El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans , o modelo de crecimiento de Ramsey , es un modelo neoclásico de crecimiento económico basado principalmente en el trabajo de Frank P. Ramsey , [1] con extensiones significativas de David Cass y Tjalling Koopmans . [2] [3] El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans difiere del modelo de Solow-Swan en que la elección del consumo se microfunda explícitamente en un momento determinado y, por lo tanto, endogeniza la tasa de ahorro.. Como resultado, a diferencia del modelo de Solow-Swan, la tasa de ahorro puede no ser constante a lo largo de la transición al estado estacionario a largo plazo . Otra implicación del modelo es que el resultado es Pareto óptimo o Pareto eficiente . [nota 1]
Originalmente, Ramsey planteó el modelo como el problema de un planificador social de maximizar los niveles de consumo durante generaciones sucesivas. [4] Sólo más tarde Cass y Koopmans adoptaron un modelo como descripción de una economía dinámica descentralizada con un agente representativo . El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans apunta únicamente a explicar el crecimiento económico a largo plazo en lugar de las fluctuaciones del ciclo económico, y no incluye ninguna fuente de perturbaciones como imperfecciones del mercado, heterogeneidad entre hogares o choques exógenos . Por lo tanto, los investigadores posteriores ampliaron el modelo, permitiendo los shocks de las compras del gobierno, las variaciones en el empleo y otras fuentes de perturbaciones, lo que se conoce como teoría del ciclo económico real .
Descripción matemática
El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans comienza con una función de producción agregada que satisface las condiciones de Inada , a menudo especificadas como de tipo Cobb-Douglas ,, con factores capital y trabajo . Dado que se supone que esta función de producción es homogénea de grado 1 , se puede expresar en términos per cápita ,. La cantidad de trabajo es igual a la población en la economía y crece a una tasa constante., es decir dónde era la población en el período inicial.
La primera ecuación clave del modelo de Ramsey-Cass-Koopmans es la ecuación de estado para la acumulación de capital:
una ecuación diferencial no lineal similar al modelo de Solow-Swan , dondees la intensidad de capital (es decir, capital por trabajador),es una abreviatura en la notación de Newton para el cambio en la intensidad del capital a lo largo del tiempo, es el consumo por trabajador, es la producción por trabajador para un determinado , y es la tasa de depreciación del capital. Bajo el supuesto simplificador de que no hay crecimiento de la población, esta ecuación establece que la inversión o el aumento de capital por trabajador es la parte de la producción que no se consume, menos la tasa de depreciación del capital. Por tanto, la inversión es lo mismo que el ahorro .
La segunda ecuación del modelo es la solución al problema del planificador social de maximizar una función de bienestar social ,, que consiste en la corriente de utilidad instantánea descontada exponencialmente del consumo, dondees una tasa de descuento que refleja la preferencia temporal . Se supone que la economía está poblada por individuos idénticos, de modo que el problema de control óptimo se puede plantear en términos de un agente representativo de vida infinita con utilidad invariante en el tiempo:. Se supone que la función de utilidad es estrictamente creciente (es decir, no hay punto de felicidad ) y cóncava en, con , [nota 2] dondees una notación abreviada de la utilidad marginal del consumo. Normalizando la población inicial a uno, el problema se puede plantear como:
donde un capital social inicial distinto de cero es dado. La solución a este problema, que generalmente se encuentra usando una función hamiltoniana , [nota 3] [nota 4] es una ecuación diferencial no lineal que describe la evolución óptima del consumo,
que se conoce como la regla de Keynes-Ramsey . [5] El término, dónde es una notación abreviada para el producto marginal del capital , refleja el rendimiento marginal de la inversión neta . La expresionrefleja la curvatura de la función de utilidad; su recíproco se conoce como elasticidad (intertemporal) de sustitución e indica cuánto desea el agente representativo suavizar el consumo a lo largo del tiempo. A menudo se supone que esta elasticidad es una constante positiva, es decir.
Las dos ecuaciones diferenciales acopladas para y forman el sistema dinámico de Ramsey-Cass-Koopmans . Su estado estable , que se encuentra estableciendo y igual a cero, viene dado por el par implícitamente definido por
Una declaración cualitativa sobre la estabilidad de la solución. requiere una linealización por un polinomio de Taylor de primer orden
dónde es la matriz jacobiana evaluada en estado estacionario, [nota 5] dada por
que tiene determinante desde siempre es positivo, es positivo por supuesto, y solo es negativo ya que es cóncava . Dado que el determinante es igual al producto de los valores propios , los valores propios deben ser reales y de signo opuesto. [6] Por lo tanto, según el teorema de la variedad estable , el equilibrio es un punto de silla y existe un brazo estable único, o "camino de silla de montar", que converge en el equilibrio, indicado por la curva azul en el diagrama de fase. El sistema se denomina "ruta de silla de montar estable", ya que todas las trayectorias inestables están descartadas por la condición "sin esquema Ponzi ": [7]
lo que implica que el valor presente del capital social no puede ser negativo. [nota 6]
Historia
Spear y Young reexaminan la historia del crecimiento óptimo durante las décadas de 1950 y 1960, [8] centrándose en parte en la veracidad del supuesto desarrollo simultáneo e independiente de "El crecimiento óptimo en un modelo agregativo de acumulación de capital" de Cass (publicado en 1965 en la Review of Economic Studies ), y "Sobre el concepto de crecimiento económico óptimo" de Tjalling Koopman (publicado en la Semana de estudios sobre el enfoque econométrico de la planificación del desarrollo, 1965, Roma: Academia Pontificia de Ciencias).
A lo largo de su vida, ni Cass ni Koopmans sugirieron nunca que sus resultados que caracterizan el crecimiento óptimo en el modelo de crecimiento de tiempo continuo y de un sector no fueran "simultáneos e independientes". El hecho de que el tema de la prioridad se convirtiera en un tema de discusión se debió únicamente al hecho de que en la versión publicada del trabajo de Koopmans, citó el capítulo de la tesis de Cass que luego se convirtió en el artículo de RES . En su artículo, Koopmans afirma en una nota a pie de página que Cass obtuvo de forma independiente condiciones similares a las que encuentra Koopmans, y que Cass también considera el caso límite en el que la tasa de descuento llega a cero en su artículo. Por su parte, Cass señala que "después de que se completó la versión original de este documento, nos llamó la atención un análisis muy similar de Koopmans. Nos basamos en sus resultados para discutir el caso límite, donde la tasa de descuento social efectiva llega a cero". . En la entrevista que Cass concedió a Macroeconomic Dynamics , le da crédito a Koopmans por haberle señalado el trabajo anterior de Frank Ramsey, alegando que se avergonzó de no haberlo conocido, pero no dice nada para disipar la afirmación básica de que su trabajo y el de Koopmans estaban en hecho independiente.
Spear y Young cuestionan esta historia, basándose en una versión en papel de trabajo previamente pasada por alto del documento de Koopmans, [9] que fue la base de la presentación de Koopmans, frecuentemente citada, en una conferencia celebrada por la Academia Pontificia de Ciencias en octubre de 1963. [10 ] En este documento de debate de Cowles, hay un error. Koopmans afirma en su resultado principal que las ecuaciones de Euler son necesarias y suficientes para caracterizar las trayectorias óptimas en el modelo porque cualquier solución a las ecuaciones de Euler que no converja al estado estable óptimo alcanzaría un límite de consumo cero o capital cero en tiempo finito. Este error aparentemente fue presentado en la conferencia del Vaticano, aunque en el momento en que Koopmans lo presentó, ningún participante comentó sobre el problema. Esto se puede inferir porque la discusión después de cada presentación de un artículo en la conferencia del Vaticano se conserva literalmente en el volumen de la conferencia.
En la discusión del volumen del Vaticano después de la presentación de un artículo de Edmond Malinvaud , el problema surge debido a la inclusión explícita de Malinvaud de una llamada "condición de transversalidad" (que Malinvaud llama Condición I) en su artículo. Al final de la presentación, Koopmans le pregunta a Malinvaud si no es el caso de que la Condición I simplemente garantiza que las soluciones a las ecuaciones de Euler que no convergen al estado estable óptimo alcanzan un límite en un tiempo finito. Malinvaud responde que este no es el caso y sugiere que Koopmans mire el ejemplo con funciones de utilidad logarítmica y funciones de producción Cobb-Douglas.
En este punto, Koopmans obviamente reconoce que tiene un problema, pero, basándose en un confuso apéndice de una versión posterior del documento elaborado después de la conferencia del Vaticano, parece incapaz de decidir cómo abordar el problema planteado por la Condición I de Malinvaud.
De la entrevista de Macroeconomic Dynamics con Cass, queda claro que Koopmans se reunió con el asesor de tesis de Cass, Hirofumi Uzawa , en las reuniones de invierno de la Econometric Society en enero de 1964, donde Uzawa le informó que su estudiante [Cass] ya había resuelto este problema. . Luego, Uzawa debió haberle proporcionado a Koopmans la copia del capítulo de tesis de Cass, que aparentemente envió bajo la apariencia del Informe Técnico del IMSSS que Koopmans citó en la versión publicada de su artículo. La palabra "disfraz" es apropiada aquí, porque el número TR que figura en la cita de Koopmans habría puesto la fecha de publicación del informe a principios de la década de 1950, lo que claramente no fue así.
En la versión publicada del artículo de Koopmans, impone una nueva condición alfa además de las ecuaciones de Euler, indicando que las únicas trayectorias admisibles entre las que satisfacen las ecuaciones de Euler es la que converge al equilibrio óptimo de estado estable del modelo. Este resultado se deriva en el artículo de Cass mediante la imposición de una condición de transversalidad que Cass dedujo de secciones relevantes de un libro de Lev Pontryagin . [11] Spear y Young conjeturan que Koopmans tomó esta ruta porque no quería parecer que estaba "tomando prestada" la tecnología de transversalidad de Malinvaud o Cass.
Con base en este y otro examen de las contribuciones de Malinvaud en la década de 1950, específicamente su intuición de la importancia de la condición de transversalidad, Spear y Young sugieren que el modelo de crecimiento neoclásico podría llamarse mejor el modelo Ramsey-Malinvaud-Cass que el Ramsey establecido. Cass – Koopmans honorífico.
Notas
- ^ Este resultado se debe no solo a la endogeneidad de la tasa de ahorro sino también a la naturaleza infinita del horizonte de planificación de los agentes del modelo; no se sostiene en otros modelos con tasas de ahorro endógenas, sino en dinámicas intergeneracionales más complejas, por ejemplo, en los modelos de generaciones superpuestas de Samuelson o Diamond .
- ^ La suposición de quede hecho, es crucial para el análisis. Si, luego para valores bajos de el valor óptimo de es 0 y por lo tanto si es suficientemente bajo existe un intervalo de tiempo inicial donde incluso si , véase Nævdal, E. (2019). "Nuevos conocimientos del modelo de crecimiento canónico de Ramsey-Cass-Koopmans". Dinámica macroeconómica . doi : 10.1017 / S1365100519000786 .
- ^ El hamiltoniano para el problema de Ramsey-Cass-Koopmans es
- ^ El problema también se puede resolver con losmétodosclásicos de cálculo de variaciones , ver Hadley, G .; Kemp, MC (1971). Métodos variacionales en economía . Nueva York: Elsevier. págs. 50–71. ISBN 978-0-444-10097-9.
- ^ La matriz jacobiana del sistema Ramsey-Cass-Koopmans es
- ↑ Se puede demostrar que la condición de “no esquema Ponzi” se deriva de la condición de transversalidad en el hamiltoniano, ver Barro, Robert J .; Sala-i-Martin, Xavier (2004). Crecimiento económico (Segunda ed.). Nueva York: McGraw-Hill. págs. 91–92. ISBN 978-0-262-02553-9.
Referencias
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- ^ Cass, David (1965). "Crecimiento óptimo en un modelo agregado de acumulación de capital". Revisión de estudios económicos . 32 (3): 233–240. doi : 10.2307 / 2295827 . JSTOR 2295827 .
- ^ Koopmans, TC (1965). "Sobre el concepto de crecimiento económico óptimo". El enfoque económico de la planificación del desarrollo . Chicago: Rand McNally. págs. 225–287.
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Otras lecturas
- Acemoglu, Daron (2009). "El modelo de crecimiento neoclásico" . Introducción al crecimiento económico moderno . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 287–326. ISBN 978-0-691-13292-1.
- Barro, Robert J .; Sala-i-Martin, Xavier (2004). "Modelos de crecimiento con optimización del consumidor" . Crecimiento económico (Segunda ed.). Nueva York: McGraw-Hill. págs. 85-142. ISBN 978-0-262-02553-9.
- Bénassy, Jean-Pascal (2011). "El modelo de Ramsey" . Teoría macroeconómica . Nueva York: Oxford University Press. págs. 145-160. ISBN 978-0-19-538771-1.
- Blanchard, Olivier Jean ; Fischer, Stanley (1989). "Consumo e inversión: modelos básicos de horizonte infinito" . Conferencias de Macroeconomía . Cambridge: MIT Press. págs. 37–89. ISBN 978-0-262-02283-5.
- Miao, Jianjun (2014). "Modelos de crecimiento neoclásicos" . Dinámica económica en tiempo discreto . Cambridge: MIT Press. págs. 353–364. ISBN 978-0-262-02761-8.
- Novales, Alfonso ; Fernández, Esther; Ruíz, Jesús (2009). "Crecimiento óptimo: análisis de tiempo continuo" . Crecimiento económico: teoría y métodos de solución numérica . Berlín: Springer. págs. 101-154. ISBN 978-3-540-68665-1.
- Romer, David (2011). "Modelos de Horizonte Infinito y Generaciones Superpuestas". Macroeconomía avanzada (Cuarta ed.). Nueva York: McGraw-Hill. págs. 49–77. ISBN 978-0-07-351137-5.
enlaces externos
- Discusión del artículo original de Ramsey por Orazio Attanasio en YouTube