En física y teoría de la probabilidad , la teoría del campo medio (también conocida como MFT o teoría de campo rara vez autoconsistente ) estudia el comportamiento de modelos aleatorios ( estocásticos ) de alta dimensión mediante el estudio de un modelo más simple que se aproxima al original promediando los grados de libertad (el número de valores en el cálculo final de una estadística que pueden variar libremente). Dichos modelos consideran muchos componentes individuales que interactúan entre sí. En MFT, el efecto de todos los demás individuos en cualquier individuo dado se aproxima por un único efecto promedio, reduciendo así un problema de muchos cuerpos a unproblema de un cuerpo .
La idea principal de MFT es reemplazar todas las interacciones con cualquier cuerpo con una interacción promedio o efectiva, a veces llamada campo molecular . [1] Esto reduce cualquier problema de muchos cuerpos a un problema de un solo cuerpo eficaz. La facilidad para resolver problemas de MFT significa que se puede obtener una idea del comportamiento del sistema a un costo computacional más bajo.
Desde entonces, la MFT se ha aplicado a una amplia gama de campos fuera de la física, que incluyen inferencia estadística , modelos gráficos , neurociencia , [2] inteligencia artificial , modelos epidémicos , [3] teoría de colas , [4] rendimiento de redes informáticas y teoría de juegos , [5] como en el equilibrio de respuesta cuántica .
Orígenes
Las ideas aparecieron por primera vez en física ( mecánica estadística ) en el trabajo de Pierre Curie [6] y Pierre Weiss para describir las transiciones de fase . [7] MFT se ha utilizado en la aproximación Bragg-Williams , modelos en Bethe celosía , la teoría de Landau , aproximación Pierre-Weiss , teoría solución de Flory-Huggins , y teoría Scheutjens-Fleer .
Los sistemas con muchos (a veces infinitos) grados de libertad son generalmente difíciles de resolver con exactitud o de calcular en forma analítica cerrada, excepto en algunos casos simples (por ejemplo, ciertas teorías de campo aleatorio gaussianas , el modelo 1D de Ising ). A menudo surgen problemas combinatorios que dificultan cosas como calcular la función de partición de un sistema. MFT es un método de aproximación que a menudo hace que el original tenga solución y esté abierto al cálculo. A veces, MFT proporciona aproximaciones muy precisas.
En la teoría de campos , el hamiltoniano se puede expandir en términos de la magnitud de las fluctuaciones alrededor de la media del campo. En este contexto, MFT puede verse como la expansión de "orden cero" del hamiltoniano en las fluctuaciones. Físicamente, esto significa que un sistema MFT no tiene fluctuaciones, pero esto coincide con la idea de que se están reemplazando todas las interacciones con un "campo medio".
Muy a menudo, MFT proporciona un punto de inicio conveniente para estudiar fluctuaciones de orden superior. Por ejemplo, al calcular la función de partición , el estudio de la combinatoria de los términos de interacción en el hamiltoniano a veces puede, en el mejor de los casos, producir resultados perturbadores o diagramas de Feynman que corrigen la aproximación del campo medio.
Validez
En general, la dimensionalidad juega un papel importante a la hora de determinar si un enfoque de campo medio funcionará para algún problema en particular. A veces hay una dimensión crítica , por encima de la cual MFT es válida y por debajo de la cual no lo es.
Heurísticamente, muchas interacciones se reemplazan en MFT por una interacción efectiva. Entonces, si el campo o la partícula exhibe muchas interacciones aleatorias en el sistema original, tienden a anularse entre sí, por lo que la interacción efectiva media y la MFT serán más precisas. Esto es cierto en casos de alta dimensionalidad, cuando el hamiltoniano incluye fuerzas de largo alcance o cuando las partículas se extienden (por ejemplo, polímeros). El criterio de Ginzburg es la expresión formal de cómo las fluctuaciones [definen] hacen que MFT sea una aproximación pobre, a menudo dependiendo del número de dimensiones espaciales en el sistema de interés.
Enfoque formal (hamiltoniano)
La base formal de la teoría del campo medio es la desigualdad de Bogoliubov . Esta desigualdad establece que la energía libre de un sistema con hamiltoniano
tiene el siguiente límite superior:
dónde es la entropía , y y son energías libres de Helmholtz . El promedio se toma sobre el conjunto de equilibrio del sistema de referencia con hamiltoniano. En el caso especial de que el hamiltoniano de referencia sea el de un sistema que no interactúe y, por tanto, pueda escribirse como
dónde son los grados de libertad de los componentes individuales de nuestro sistema estadístico (átomos, espines, etc.), se puede considerar agudizar el límite superior minimizando el lado derecho de la desigualdad. El sistema de referencia de minimización es entonces la "mejor" aproximación al sistema verdadero usando grados de libertad no correlacionados y se conoce como aproximación de campo medio .
Para el caso más común de que el hamiltoniano de destino contiene solo interacciones por pares, es decir,
dónde es el conjunto de pares que interactúan, el procedimiento de minimización se puede realizar formalmente. Definir como la suma generalizada de los observables sobre los grados de libertad del componente individual (suma para variables discretas, integrales para continuas). La energía libre aproximada viene dada por
dónde es la probabilidad de encontrar el sistema de referencia en el estado especificado por las variables . This probability is given by the normalized Boltzmann factor
where is the partition function. Thus
In order to minimize, we take the derivative with respect to the single-degree-of-freedom probabilities using a Lagrange multiplier to ensure proper normalization. The end result is the set of self-consistency equations
where the mean field is given by
Aplicaciones
Mean-field theory can be applied to a number of physical systems so as to study phenomena such as phase transitions.[8]
Ising model
Formal derivation
The Bogoliubov inequality, above, can be used to find magnetisation in a mean field model of the two-dimensional Ising lattice. The full derivation of both the Bogoliubov inequality, and magnetisation from the resultant approximate free energy, can be found in.[9] It is restated here.
We approximate the true Hamiltonian using a non-interacting or effective field Hamiltonian,
and use this in our Bogoliubov inequality. The variational free energy becomes
Simplifying this and calculating the magnetisation that minimises the variational free energy, yielding the best approximation to our actual magnetisation, following the Bogoliubov inequality, we get
where we have the ensemble average of spin.
This simplifies to
Non-interacting spins approximation
Consider the Ising model on a -dimensional lattice. The Hamiltonian is given by
where the indicates summation over the pair of nearest neighbors , and are neighboring Ising spins.
Let us transform our spin variable by introducing the fluctuation from its mean value . We may rewrite the Hamiltonian as
where we define ; this is the fluctuation of the spin.
If we expand the right side, we obtain one term that is entirely dependent on the mean values of the spins and independent of the spin configurations. This is the trivial term, which does not affect the statistical properties of the system. The next term is the one involving the product of the mean value of the spin and the fluctuation value. Finally, the last term involves a product of two fluctuation values.
The mean-field approximation consists of neglecting this second-order fluctuation term:
These fluctuations are enhanced at low dimensions, making MFT a better approximation for high dimensions.
Again, the summand can be reexpanded. In addition, we expect that the mean value of each spin is site-independent, since the Ising chain is translationally invariant. This yields
The summation over neighboring spins can be rewritten as , where means "nearest neighbor of ", and the prefactor avoids double counting, since each bond participates in two spins. Simplifying leads to the final expression
where is the coordination number. At this point, the Ising Hamiltonian has been decoupled into a sum of one-body Hamiltonians with an effective mean field , which is the sum of the external field and of the mean field induced by the neighboring spins. It is worth noting that this mean field directly depends on the number of nearest neighbors and thus on the dimension of the system (for instance, for a hypercubic lattice of dimension , ).
Substituting this Hamiltonian into the partition function and solving the effective 1D problem, we obtain
where is the number of lattice sites. This is a closed and exact expression for the partition function of the system. We may obtain the free energy of the system and calculate critical exponents. In particular, we can obtain the magnetization as a function of .
We thus have two equations between and , allowing us to determine as a function of temperature. This leads to the following observation:
- For temperatures greater than a certain value , the only solution is . The system is paramagnetic.
- For , there are two non-zero solutions: . The system is ferromagnetic.
is given by the following relation: .
This shows that MFT can account for the ferromagnetic phase transition.
Application to other systems
Similarly, MFT can be applied to other types of Hamiltonian as in the following cases:
- To study the metal–superconductor transition. In this case, the analog of the magnetization is the superconducting gap .
- The molecular field of a liquid crystal that emerges when the Laplacian of the director field is non-zero.
- To determine the optimal amino acid side chain packing given a fixed protein backbone in protein structure prediction (see Self-consistent mean field (biology)).
- To determine the elastic properties of a composite material.
Ampliación a campos medios dependientes del tiempo
In mean-field theory, the mean field appearing in the single-site problem is a scalar or vectorial time-independent quantity. However, this need not always be the case: in a variant of mean-field theory called dynamical mean-field theory (DMFT), the mean field becomes a time-dependent quantity. For instance, DMFT can be applied to the Hubbard model to study the metal–Mott-insulator transition.
Ver también
- Dynamical mean-field theory
- Mean-field game theory
- Generalized epidemic mean-field model
Referencias
- ^ Chaikin, P. M.; Lubensky, T. C. (2007). Principles of condensed matter physics (4th print ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79450-3.
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