Sistema de reacción-difusión
Los sistemas de reacción-difusión son modelos matemáticos que corresponden a varios fenómenos físicos. El más común es el cambio en el espacio y el tiempo de la concentración de una o más sustancias químicas: reacciones químicas locales en las que las sustancias se transforman unas en otras, y difusión que hace que las sustancias se extiendan sobre una superficie en el espacio.
Los sistemas de reacción-difusión se aplican naturalmente en química . Sin embargo, el sistema también puede describir procesos dinámicos de naturaleza no química. Se encuentran ejemplos en biología , geología y física (teoría de la difusión de neutrones) y ecología . Matemáticamente, los sistemas de reacción-difusión toman la forma de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas semilineales . Se pueden representar en la forma general
donde q ( x , t ) representa la función vectorial desconocida, D es una matriz diagonal de coeficientes de difusión y R representa todas las reacciones locales. Las soluciones de las ecuaciones de reacción-difusión muestran una amplia gama de comportamientos, incluida la formación de ondas viajeras y fenómenos ondulatorios, así como otros patrones autoorganizados como rayas, hexágonos o estructuras más complejas como solitones disipativos . Tales patrones han sido denominados " patrones de Turing ". [1]Cada función, para la que se cumple una ecuación diferencial de difusión de reacción, representa de hecho una variable de concentración .
también se conoce como la ecuación de Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov . [2] Si el término de reacción desaparece, entonces la ecuación representa un proceso de difusión puro. La ecuación correspondiente es la segunda ley de Fick . La elección R ( u ) = u (1 − u ) produce la ecuación de Fisher que se usó originalmente para describir la propagación de poblaciones biológicas , [3] la ecuación de Newell-Whitehead-Segel con R ( u ) = u (1 − u 2 ) para describirConvección de Rayleigh-Bénard , [4] [5] la ecuación más general de Zeldovich-Frank-Kamenetskii con R ( u ) = u (1 − u )e - β (1- u ) y 0 < β < ∞ ( número de Zeldovich ) que surge en la teoría de la combustión , [6] y su caso degenerado particular con R ( u ) = u 2 − u 3 que a veces también se conoce como la ecuación de Zeldovich.[7]
La dinámica de los sistemas de un componente está sujeta a ciertas restricciones ya que la ecuación de evolución también se puede escribir en la forma variacional
y por lo tanto describe una disminución permanente de la "energía libre" dada por el funcional
