El concepto de sistema dinámico es una formalización matemática para cualquier "regla" fija que describe la dependencia temporal de la posición de un punto en su espacio ambiental . El concepto unifica tipos muy diferentes de tales "reglas" en matemáticas: las diferentes elecciones hechas sobre cómo se mide el tiempo y las propiedades especiales del espacio ambiental pueden dar una idea de la inmensidad de la clase de objetos descritos por este concepto. El tiempo se puede medir mediante números enteros, reales o complejos o puede ser un objeto algebraico más general, perdiendo la memoria de su origen físico, y el espacio ambiental puede ser simplemente un conjunto , sin la necesidad de un suave estructura espacio-temporal definida en él.
Hay dos clases de definiciones para un sistema dinámico: una está motivada por ecuaciones diferenciales ordinarias y tiene un sabor geométrico; y el otro está motivado por la teoría ergódica y tiene un tono de medida teórico . Las definiciones teóricas de medida asumen la existencia de una transformación que preserva la medida. Esto parece excluir los sistemas disipativos , ya que en un sistema disipativo una pequeña región del espacio de fases se contrae con la evolución del tiempo. Una construcción simple (a veces llamada teorema de Krylov-Bogolyubov) muestra que siempre es posible construir una medida para hacer de la regla de evolución del sistema dinámico una transformación que preserva la medida. En la construcción se suma una medida dada del espacio de estados para todos los puntos futuros de una trayectoria, asegurando la invariancia.
La dificultad de construir la medida natural para un sistema dinámico dificulta el desarrollo de la teoría ergódica a partir de ecuaciones diferenciales, por lo que resulta conveniente tener una definición motivada por sistemas dinámicos dentro de la teoría ergódica que evite la elección de la medida.
En el sentido más general, [1] [2] un sistema dinámico es una tupla ( T , M , Φ) donde T es un monoide , escrito aditivamente, M es un no vacío conjunto y Φ es una función
La función Φ ( t , x ) se denomina función de evolución del sistema dinámico: asocia a cada punto del conjunto M una imagen única, dependiendo de la variable t , denominada parámetro de evolución . M se llama espacio de fase o espacio de estados , mientras que la variable x representa un estado inicial del sistema.
se llama la órbita a través de x . Tenga en cuenta que la órbita a través de x es la imagen del flujo a través de x . Un subconjunto S del espacio de estados M se llama Φ- invariante si para todo x en S y todo t en T