En matemáticas , el teorema de Krylov-Bogolyubov (también conocido como teorema de la existencia de medidas invariantes ) puede referirse a cualquiera de los dos teoremas fundamentales relacionados dentro de la teoría de sistemas dinámicos . Los teoremas garantizan la existencia de medidas invariantes para ciertos mapas "agradables" definidos en espacios "agradables" y fueron nombrados en honor a los matemáticos y físicos teóricos ruso - ucranianos Nikolay Krylov y Nikolay Bogolyubov que demostraron los teoremas. [1]
Formulación de los teoremas
Medidas invariantes para un solo mapa
Teorema (Krylov-Bogolyubov) . Sea ( X , T ) un espacio topológico compacto y metrizable y F : X → X un mapa continuo . Entonces F admite una medida de probabilidad de Borel invariante .
Es decir, si Borel ( X ) denota el σ-álgebra de Borel generado por la colección T de subconjuntos abiertos de X , entonces existe una medida de probabilidad μ : Borel ( X ) → [0, 1] tal que para cualquier subconjunto A ∈ Borel ( X ),
En términos del empuje hacia adelante , esto establece que
Medidas invariantes para un proceso de Markov
Sea X un espacio polaco y dejeser las probabilidades de transición para un semigrupo de Markov homogéneo en el tiempo en X , es decir
Teorema (Krylov-Bogolyubov) . Si existe un puntopara la cual la familia de probabilidades mide { P t ( x , ·) | t > 0} es uniformemente ajustado y el semigrupo ( P t ) satisface la propiedad de Feller , entonces existe al menos una medida invariante para ( P t ), es decir, una medida de probabilidad μ en X tal que
Ver también
- Para el 1er teorema: Ya. G. Sinai (Ed.) (1997): Dynamical Systems II. Teoría Ergódica con Aplicaciones a Sistemas Dinámicos y Mecánica Estadística . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-17001-4 . (Sección 1).
- Para el segundo teorema: G. Da Prato y J. Zabczyk (1996): Ergodicity for Infinite Dimensional Systems . Cambridge Univ. Prensa. ISBN 0-521-57900-7 . (Seccion 3).
Notas
- ^ NN Bogoliubov y NM Krylov (1937). "La theorie generalie de la mesure dans son application a l'etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire". Annals of Mathematics . Segunda Serie (en francés). Annals of Mathematics. 38 (1): 65-113. doi : 10.2307 / 1968511 . JSTOR 1968511 .Zbl. 16.86.
Este artículo incorpora material del teorema de Krylov-Bogolubov en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .