Rango real (C*-álgebras)

En matemáticas , el rango real de un C*-álgebra es un análogo no conmutativo de la dimensión de cobertura de Lebesgue . La noción fue introducida por primera vez por Lawrence G. Brown y Gert K. Pedersen . ^[1]

El rango real de un C*-álgebra unitaria A es el entero no negativo más pequeño n , denotado RR( A ), tal que para cada ( n + 1)-tupla ( x ₀ , x ₁ , ... , x _n ) de elementos autoadjuntos de A y cada ε > 0, existe una ( n + 1) -tupla ( y ₀ , y ₁ , ... , y _n ) de elementos autoadjuntos de A tal que es invertible y ${\displaystyle\sum _{i=0}^{n}y_{i}^{2}}$ $\lVert \sum _{i=0}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}\rVert <\varepsilon$ . Si no existe tal número entero, entonces el rango real de A es infinito. El rango real de un C*-álgebra no unital se define como el rango real de su unitalización .

Si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto , entonces RR( C ₀ ( X )) = dim( X ), donde dim es la dimensión de cobertura de Lebesgue de X . Como resultado, el rango real se considera una generalización no conmutativa de la dimensión, pero el rango real puede ser bastante diferente cuando se compara con la dimensión. Por ejemplo, la mayoría de los toros no conmutativos tienen rango real cero, a pesar de ser una versión no conmutativa del toro bidimensional . Para espacios de Hausdorff localmente compactos, ser de dimensión cero es equivalente a estar totalmente desconectado . La relación análoga falla para C*-álgebras; mientras AF-álgebras tienen rango real cero, lo contrario es falso. Las fórmulas que son válidas para la dimensión pueden no generalizarse para el rango real. Por ejemplo, Brown y Pedersen conjeturaron que RR( A ⊗ B ) ≤ RR( A ) + RR( B ), ya que es cierto que dim( X × Y ) ≤ dim( X ) + dim( Y ). Demostraron un caso especial de que si A es AF y B tiene un rango real cero, entonces A ⊗ B tiene un rango real cero. Pero en general su conjetura es falsa, hay C*-álgebras A y B con rango real cero tal que A ⊗ B tiene rango real mayor que cero. ^[2]

Las C*-álgebras con rango real cero son de particular interés. Por definición, un C*-álgebra unitaria tiene rango real cero si y solo si los elementos autoadjuntos invertibles de A son densos en los elementos autoadjuntos de A . Esta condición es equivalente a las condiciones estudiadas anteriormente:

Esta equivalencia se puede utilizar para dar muchos ejemplos de álgebras C* con rango real cero, incluidas álgebras AW*, álgebras de Bunce-Deddens , ^[3] y álgebras de von Neumann . En términos más generales, las álgebras C * unitarias puramente infinitas simples tienen un rango real cero, incluidas las álgebras de Cuntz y las álgebras de Cuntz-Krieger . Dado que las C*-álgebras de gráficos simples son AF o puramente infinitas, cada C*-álgebra de gráficos simples tiene rango real cero.

Tener rango real cero es una propiedad cerrada bajo la toma de límites directos , C*-subálgebras hereditarias y fuerte equivalencia de Morita . En particular, si A tiene rango real cero, entonces M _n ( A ), el álgebra de matrices n × n sobre A , tiene rango real cero para cualquier entero n ≥ 1.