En matemáticas , un álgebra C * de aproximadamente dimensión finita (AF) es un álgebra C * que es el límite inductivo de una secuencia de álgebra C * de dimensión finita . La dimensionalidad finita aproximada fue definida y descrita combinatoriamente por primera vez por Ola Bratteli . Más tarde, George A. Elliott dio una clasificación completa de las álgebras AF utilizando el funtor K 0 cuyo rango consiste en grupos abelianos ordenados con una estructura de orden suficientemente agradable.
El teorema de clasificación para AF-álgebras sirve como un prototipo para los resultados de clasificación para clases más grandes de C * -álgebras separables, simples nucleares establemente finitas. Su prueba se divide en dos partes. El invariante aquí es K 0 con su estructura de orden natural; este es un functor . Primero, se prueba la existencia : un homomorfismo entre invariantes debe elevarse a un * -homomorfismo de álgebras. En segundo lugar, se muestra unicidad : el levantamiento debe ser único hasta una equivalencia unitaria aproximada. Luego, la clasificación se deriva de lo que se conoce como el argumento entrelazado. Para las álgebras de AF unitales, tanto la existencia como la unicidad se derivan del hecho de que el semigrupo de proyecciones de Murray-von Neumann en un álgebra de AF es cancelativo.
La contraparte de las álgebras AF C * simples en el mundo del álgebra de von Neumann son los factores hiperfinitos, que fueron clasificados por Connes y Haagerup .
En el contexto de la topología y la geometría no conmutativa , AF C * -álgebras son generalizaciones no conmutativas de C 0 ( X ), donde X es un espacio metrizable totalmente desconectado .
Definición y propiedades básicas
C * -álgebras de dimensión finita
Un C * -álgebra A de dimensión finita arbitraria toma la siguiente forma, hasta el isomorfismo:
donde M i denota el álgebra matricial completa de las matrices i × i .
Hasta la equivalencia unitaria, un * -omorfismo unital Φ: M i → M j es necesariamente de la forma
donde r · i = j . Se dice que el número r es la multiplicidad de Φ. En general, un homomorfismo unital entre álgebras C * de dimensión finita
se especifica, hasta la equivalencia unitaria, por una matriz t × s de multiplicidades parciales ( r l k ) que satisface, para todo l
En el caso no unital, la igualdad se reemplaza por ≤. Gráficamente, Φ, equivalentemente ( r l k ), se puede representar mediante su diagrama de Bratteli . El diagrama Bratteli es un gráfico dirigido con nodos correspondientes a cada n k y m l y el número de flechas de n k a m l es la multiplicidad parcial r lk .
Considere la categoría cuyos objetos son clases de isomorfismos de C * -álgebras de dimensión finita y cuyos morfismos son * -homorfismos módulo unitario de equivalencia. Según la discusión anterior, los objetos pueden verse como vectores con entradas en N y los morfismos son las matrices de multiplicidad parcial.
Álgebras AF
AC * -álgebra es AF si es el límite directo de una secuencia de C * -álgebras de dimensión finita:
donde cada A i es un C * -álgebra de dimensión finita y los mapas de conexión α i son * -homorfismos. Supondremos que cada α i es unital. El sistema inductivo que especifica un álgebra AF no es único. Siempre se puede pasar a una subsecuencia. Suprimiendo los mapas de conexión, A también se puede escribir como
El diagrama de Bratteli de A está formado por los diagramas de Bratteli de { α i } de la manera obvia. Por ejemplo, el triángulo de Pascal , con los nodos conectados por flechas hacia abajo apropiadas, es el diagrama de Bratteli de un álgebra AF. A la derecha se muestra un diagrama de Bratteli del álgebra CAR . Las dos flechas entre los nodos significan que cada mapa de conexión es una incrustación de multiplicidad 2.
- (Un diagrama de Bratteli del álgebra CAR)
Si un álgebra AF A = (∪ n A n ) - , entonces un J ideal en A toma la forma ∪ n ( J ∩ A n ) - . En particular, J es en sí mismo un álgebra AF. Dado un diagrama Bratteli de A y algún subconjunto S de nodos, el subdiagrama generada por S da sistema inductivo que especifica un ideal de A . De hecho, todo ideal surge de esta manera.
Debido a la presencia de unidades matriciales en la secuencia inductiva, las álgebras AF tienen la siguiente caracterización local: una C * -álgebra A es AF si y solo si A es separable y cualquier subconjunto finito de A está "casi contenido" en algún finito- dimensional C * -subálgebra.
Las proyecciones en ∪ n A n en forma de hecho una unidad aproximada de A .
Está claro que la extensión de un álgebra C * de dimensión finita por otra álgebra C * de dimensión finita es nuevamente de dimensión finita. De manera más general, la extensión de un álgebra AF por otra álgebra AF es nuevamente AF. [1]
Clasificación
K 0
El grupo K-teórico K 0 es un invariante de C * -álgebras. Tiene sus orígenes en la teoría K topológica y sirve como el rango de una especie de "función de dimensión". Para un álgebra A de AF , K 0 ( A ) se puede definir de la siguiente manera. Deje M n ( A ) Sea el C * -algebra de n × n matrices cuyas entradas son elementos de A . M n ( A ) se puede incrustar en M n + 1 ( A ) canónicamente, en la "esquina superior izquierda". Considere el límite directo algebraico
Denote las proyecciones (idempotentes autoadjuntos) en este álgebra por P ( A ). Dos elementos p y q se dice que son equivalentes Murray-von Neumann , denotada por p ~ q , si p = vv * y q = v * v para algunos isometría parcial v en M ∞ ( A ). Está claro que ~ es una relación de equivalencia. Definir una operación binaria + sobre el conjunto de equivalencias P ( A ) / ~ por
donde ⊕ es la suma directa ortogonal . [ aclaración necesaria ] Esto hace que P ( A ) / ~ sea un semigrupo que tiene la propiedad de cancelación . Denotamos este semigrupo por K 0 ( A ) + . Al realizar la construcción del grupo de Grothendieck se obtiene un grupo abeliano, que es K 0 ( A ).
K 0 ( A ) tiene una estructura de orden natural: decimos [ p ] ≤ [ q ] si p es Murray-von Neumann equivalente a una subproyección de q . Esto hace que K 0 ( A ) sea un grupo ordenado cuyo cono positivo es K 0 ( A ) + .
Por ejemplo, para un C * -álgebra de dimensión finita
uno tiene
Dos características esenciales del mapeo A ↦ K 0 ( A ) son:
- K 0 es un funtor (covariante) . A * -homomorfismo α : A → B entre álgebras AF induce un homomorfismo de grupo α * : K 0 ( A ) → K 0 ( B ). En particular, cuando A y B son ambos de dimensión finita, α * puede identificarse con la matriz de multiplicidades parciales de α .
- K 0 respeta los límites directos. Si A = ∪ n α n ( A n ) - , entonces K 0 ( A ) es el límite directo ∪ n α n * ( K 0 ( A n )).
El grupo de dimensiones
Dado que M ∞ ( M ∞ ( A )) es isomorfo a M ∞ ( A ), K 0 solo puede distinguir álgebras AF hasta isomorfismo estable . Por ejemplo, M 2 y M 4 no son isomorfos sino establemente isomorfos; K 0 ( M 2 ) = K 0 ( M 4 ) = Z .
Se necesita un invariante más fino para detectar clases de isomorfismo. Para un álgebra A de AF , definimos la escala de K 0 ( A ), denotada por Γ ( A ), como el subconjunto cuyos elementos están representados por proyecciones en A :
Cuando A es unital con la unidad 1 A , el elemento K 0 [1 A ] es el elemento máximo de Γ ( A ) y, de hecho,
El triple ( K 0 , K 0 + , Γ ( A )) se llama el grupo de dimensiones de A . Si A = M s , su grupo de dimensiones es ( Z , Z + , {1, 2, ..., s }).
Se dice que un homomorfismo de grupo entre un grupo de dimensiones es contractivo si conserva la escala. Se dice que el grupo de dos dimensiones es isomorfo si existe un isomorfismo de grupo contractivo entre ellos.
El grupo de dimensiones conserva las propiedades esenciales de K 0 :
- A * -homomorfismo α : A → B entre álgebras AF induce de hecho un homomorfismo de grupo contractivo α * en los grupos de dimensión. Cuando A y B son ambos de dimensión finita, correspondientes a cada matriz de multiplicidades parciales ψ , existe un único, hasta equivalencia unitaria, * -homomorfismo α : A → B tal que α * = ψ .
- Si A = ∪ n α n ( A n ) - , entonces el grupo de dimensiones de A es el límite directo de los de A n .
Teorema de elliott
El teorema de Elliott dice que el grupo de dimensiones es un invariante completo de las álgebras AF: dos álgebras AF A y B son isomorfas si y solo si sus grupos de dimensiones son isomorfos.
Se necesitan dos hechos preliminares antes de poder esbozar una demostración del teorema de Elliott. El primero resume la discusión anterior sobre C * -álgebras de dimensión finita.
Lema Para dos C * -álgebras A y B de dimensión finita , y un homomorfismo contractivo ψ : K 0 ( A ) → K 0 ( B ), existe un * -homomorfismo φ : A → B tal que φ * = ψ , y φ es único hasta la equivalencia unitaria.
El lema puede extenderse al caso en el que B es AF. Un mapa ψ en el nivel de K 0 puede "retroceder", en el nivel de las álgebras, a alguna etapa finita en el sistema inductivo.
Lema Sea A de dimensión finita y B AF, B = (∪ n B n ) - . Deje β m sea el homomorfismo canónico de B m en B . Entonces, para cualquier homomorfismo contractivo ψ : K 0 ( A ) → K 0 ( B ), existe un * -homomorfismo φ : A → B m tal que β m * φ * = ψ , y φ es único hasta la equivalencia unitaria en B .
La prueba del lema se basa en la simple observación de que K 0 ( A ) se genera finitamente y, dado que K 0 respeta los límites directos, K 0 ( B ) = ∪ n β n * K 0 ( B n ).
Teorema (Elliott) Dos álgebras A y B de AF son isomorfas si y solo si sus grupos de dimensiones ( K 0 ( A ), K 0 + ( A ), Γ ( A )) y ( K 0 ( B ), K 0 + ( B ), Γ ( B )) son isomorfos.
El quid de la prueba se conoce como el argumento entrelazado de Elliott . Dado un isomorfismo entre grupos de dimensiones, se construye un diagrama de triángulos de conmutación entre los sistemas directos de A y B aplicando el segundo lema.
Dibujamos la demostración de la parte no trivial del teorema, correspondiente a la secuencia de diagramas conmutativos de la derecha.
Sea Φ: ( K 0 ( A ), K 0 + ( A ), Γ ( A )) → ( K 0 ( B ), K 0 + ( B ), Γ ( B )) un isomorfismo de grupo de dimensiones.
- Considere la composición de los mapas Φ α 1 * : K 0 ( A 1 ) → K 0 ( B ). Por el lema anterior, existe B 1 y un * -homomorfismo φ 1 : A 1 → B 1 tal que el primer diagrama de la derecha conmuta.
- El mismo argumento aplicado a β 1 * Φ −1 muestra que el segundo diagrama conmuta por algún A 2 .
- Al comparar los diagramas 1 y 2 se obtiene el diagrama 3.
- Usando la propiedad del límite directo y moviendo A 2 más hacia abajo si es necesario, obtenemos el diagrama 4, un triángulo conmutativo en el nivel de K 0 .
- Para álgebras de dimensión finita, dos homomorfismos * inducen el mismo mapa en K 0 si y solo si son equivalentes unitarios. Entonces, al componer ψ 1 con una conjugación unitaria si es necesario, tenemos un triángulo conmutativo en el nivel de álgebras.
- Por inducción, tenemos un diagrama de triángulos de conmutación como se indica en el último diagrama. El mapa φ : A → B es el límite directo de la secuencia { φ n }. Sea ψ : B → A es el límite directo de la secuencia { ψ n }. Está claro que φ y ψ son inversos mutuos. Por tanto, A y B son isomorfos.
Además, en el nivel de K 0 , el diagrama adyacente conmuta para cada k . Por unicidad del límite directo de mapas, φ * = Φ.
El teorema de Effros-Handelman-Shen
El grupo de dimensiones de un álgebra AF es un grupo de Riesz . El teorema de Effros-Handelman-Shen dice que lo contrario es cierto. Cada grupo de Riesz, con una escala dada, surge como el grupo de dimensiones de algún álgebra de AF. Esto especifica el rango del functor clasificador K 0 para AF-álgebras y completa la clasificación.
Grupos de Riesz
Un grupo G con un orden parcial se denomina grupo ordenado . El conjunto G + de elementos ≥ 0 se llama el cono positivo de G . Se dice que G no está perforado si k · g ∈ G + implica g ∈ G + .
La siguiente propiedad se llama propiedad de descomposición de Riesz : si x , y i ≥ 0 y x ≤ ∑ y i , entonces existe x i ≥ 0 tal que x = ∑ x i , y x i ≤ y i para cada i .
Un grupo de Riesz ( G , G + ) es un grupo ordenado que no está perforado y tiene la propiedad de descomposición de Riesz.
Está claro que si A es de dimensión finita, ( K 0 , K 0 + ) es un grupo de Riesz, donde Z k tiene un orden de entrada. Las dos propiedades de los grupos de Riesz se conservan mediante límites directos, asumiendo que la estructura de orden en el límite directo proviene de las del sistema inductivo. Entonces ( K 0 , K 0 + ) es un grupo de Riesz para un álgebra A de AF .
Un paso clave hacia el teorema de Effros-Handelman-Shen es el hecho de que cada grupo de Riesz es el límite directo de Z k , cada uno con la estructura de orden canónico. Esto depende del siguiente lema técnico, a veces denominado criterio de Shen en la literatura.
Lema Sea ( G , G + ) un grupo de Riesz, ϕ : ( Z k , Z k + ) → ( G , G + ) sea un homomorfismo positivo. Entonces existen mapas σ y ψ , como se indica en el diagrama adyacente, tal que ker ( σ ) = ker ( ϕ ).
Corolario Cada grupo de Riesz ( G , G + ) se puede expresar como un límite directo
donde todos los homomorfismos de conexión en el sistema dirigido en el lado derecho son positivos.
El teorema
Teorema Si ( G , G + ) es un grupo de Riesz contable con escala Γ ( G ), entonces existe un álgebra A de AF tal que ( K 0 , K 0 + , Γ ( A )) = ( G , G + , Γ ( G )). En particular, si Γ ( G ) = [0, u G ] con el elemento máximo u G , entonces A es unital con [1 A ] = [ u G ].
Consideremos en primer lugar el caso especial donde Γ ( G ) = [0, T G ] con el elemento de máxima u G . Suponer
Bajando a una subsecuencia si es necesario, deje
donde φ 1 ( u 1 ) = u G para algún elemento u 1 . Ahora considere el ideal de orden G 1 generado por u 1 . Debido a que cada H 1 tiene la estructura de orden canónico, G 1 es una suma directa de Z (con el número de copias posibles menor que el de H 1 ). Entonces esto da un álgebra A 1 de dimensión finita cuyo grupo de dimensiones es ( G 1 G 1 + , [0, u 1 ]). A continuación, mueva u 1 hacia adelante definiendo u 2 = φ 12 ( u 1 ). Nuevamente u 2 determina un álgebra A 2 de dimensión finita . Existe un homomorfismo correspondiente α 12 tal que α 12 * = φ 12 . La inducción da un sistema dirigido
cuyo K 0 es
con escala
Esto prueba el caso especial.
Un argumento similar se aplica en general. Observe que la escala es, por definición, un conjunto dirigido . Si Γ ( G ) = { v k }, se puede elegir u k ∈ Γ ( G ) tal que u k ≥ v 1 ... v k . El mismo argumento anterior prueba el teorema.
Ejemplos de
Por definición, las álgebras uniformemente hiperfinitas son AF y unitales. Sus grupos de dimensión son los subgrupos de Q . Por ejemplo, para los 2 × 2 matrices M 2 , K 0 ( M 2 ) es el grupo de los números racionales de la forma de un / 2 para un en Z . La escala es Γ ( M 2 ) = {0, ½, 1}. Para el álgebra A de CAR , K 0 ( A ) es el grupo de racionales diádicos con escala K 0 ( A ) ∩ [0, 1], con 1 = [1 A ]. Todos estos grupos son simples , en cierto sentido apropiados para grupos ordenados. Por tanto, las álgebras de UHF son simples C * -álgebras. En general, los grupos que no son densos en Q son los grupos de dimensión de M k para algunos k .
Las álgebras C * conmutativas, que se caracterizaron por Gelfand , son AF precisamente cuando el espectro está totalmente desconectado . [2] Las funciones continuas C ( X ) en el conjunto de Cantor X es un ejemplo.
Programa de clasificación de Elliott
Elliott propuso que otras clases de álgebras C * pueden ser clasificables por invariantes de la teoría K. Para un C * -álgebra A , el invariante de Elliott se define como
donde T + ( A ) son los funcionales lineales positivos traciales en la topología débil- *, y ρ A es el emparejamiento natural entre T + ( A ) y K 0 ( A ).
La conjetura original de Elliott afirmaba que el invariante de Elliott clasifica las álgebras C * nucleares unitales simples separables.
En la literatura, se pueden encontrar varias conjeturas de este tipo con los correspondientes invariantes de Elliott modificados / refinados.
Álgebras de von Neumann
En un contexto relacionado, un álgebra de von Neumann aproximadamente de dimensión finita , o hiperfinita , es uno con un predual separable y contiene un álgebra AF C * débilmente densa. Murray y von Neumann demostraron que, hasta el isomorfismo, existe un factor de tipo II 1 hiperfinito único . Connes obtuvo el resultado análogo para el factor II ∞ . Powers exhibió una familia de factores hiperfinitos de tipo III no isomórficos con cardinalidad del continuo. Hoy tenemos una clasificación completa de factores hiperfinitos.
Notas
- ^ Lawrence G. Brown. Extensiones de álgebras AF: el problema de elevación de proyección. Álgebras de operador y aplicaciones, Actas de simposios en matemáticas puras, vol. 38, Parte 1, págs. 175-176, American Mathematical Soc., 1982
- ^ Davidson 1996, p. 77.
Referencias
- Bratteli, Ola. (1972), Límites inductivos de C * -álgebras de dimensión finita , Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 171 , 195-234.
- Davidson, KR (1996), C * -algebras por ejemplo , Field Institute Monographs 6 , American Mathematical Society.
- Effros, EG, Handelman, DE y Shen CL (1980), Grupos de dimensiones y sus representaciones afines , Amer. J. Math. 102 , 385-402.
- Elliott, GA (1976), Sobre la clasificación de límites inductivos de secuencias de álgebras semisimples de dimensión finita , J. Álgebra 38 , 29-44.
- Elliott, GA y Toms, AS (2008), Propiedades de regularidad en el programa de clasificación de álgebras C susceptibles de separación , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 45 , 229-245.
- Fillmore, PA (1996), Guía del usuario para álgebras de operadores , Wiley-Interscience.
- Rørdam, M. (2002), Clasificación de C * -Álgebras nucleares , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas 126 , Springer-Verlag.
enlaces externos
- "AF-álgebra" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]