Reciprocidad (redes eléctricas)

La reciprocidad en las redes eléctricas es una propiedad de un circuito que relaciona voltajes y corrientes en dos puntos. El teorema de reciprocidad establece que la corriente en un punto de un circuito debido a un voltaje en un segundo punto es la misma que la corriente en el segundo punto debido al mismo voltaje en el primero. El teorema de reciprocidad es válido para casi todas las redes pasivas . El teorema de reciprocidad es una característica de un principio más general de reciprocidad en el electromagnetismo .

Descripción

Si una corriente , inyectada en el puerto A produce un voltaje , en el puerto B y se inyecta en el puerto B produce en el puerto A, entonces se dice que la red es recíproca. De manera equivalente, la reciprocidad puede definirse por la situación dual; aplicando voltaje, en el puerto A produciendo corriente en el puerto B y en el puerto B produciendo corriente en el puerto A. ^[1] En general, las redes pasivas son recíprocas. Cualquier red que consista enteramente en capacitancias , inductancias (incluidas inductancias mutuas ) y resistencias ideales.${\displaystyle I_{\text{A}}}$${\displaystyle V_{\text{B}}}$${\displaystyle I_{\text{A}}}$${\displaystyle V_{\text{B}}}$${\displaystyle V_{\text{A}}}$${\displaystyle I_{\text{B}}}$${\displaystyle V_{\text{A}}}$${\displaystyle I_{\text{B}}}$, es decir, los elementos lineales y bilaterales serán recíprocos. ^[2] Sin embargo, existen componentes pasivos que no son recíprocos. Es probable que cualquier componente que contenga material ferromagnético no sea recíproco. Ejemplos de componentes pasivos diseñados deliberadamente para no ser recíprocos incluyen circuladores y aisladores . ^[3]

La función de transferencia de una red recíproca tiene la propiedad de que es simétrica alrededor de la diagonal principal si se expresa en términos de una z-parámetro , y-parámetro , o parámetros S matriz. Una matriz no simétrica implica una red no recíproca. Una matriz simétrica no implica una red simétrica . ^[4]

En algunas parametizaciones de redes, la matriz representativa no es simétrica para redes recíprocas. Los ejemplos más comunes son los h-parámetros y ABCD parámetros , pero todos ellos tienen alguna otra condición de reciprocidad que se puede calcular a partir de los parámetros. Para los parámetros h, la condición es y para los parámetros ABCD lo es . Estas representaciones mezclan tensiones y corrientes en el mismo vector de columna y, por lo tanto, ni siquiera tienen unidades coincidentes en los elementos transpuestos . ^[5]${\displaystyle h_{12}=-h_{21}}$${\displaystyle AD-BC=1}$

Ejemplo

Se puede demostrar un ejemplo de reciprocidad utilizando un atenuador resistivo asimétrico . Se elige una red asimétrica como ejemplo porque una red simétrica es evidentemente recíproca.

La inyección de seis amperios en el puerto 1 de esta red produce 24 voltios en el puerto 2.

La inyección de seis amperios en el puerto 2 produce 24 voltios en el puerto 1.

Por tanto, la red es recíproca. En este ejemplo, el puerto que no está inyectando corriente se deja en circuito abierto. Esto se debe a que un generador de corriente que aplica corriente cero es un circuito abierto. Si, por el contrario, se quisiera aplicar voltajes y medir la corriente resultante, entonces el puerto al que no se aplica el voltaje se pondría en cortocircuito. Esto se debe a que un generador de voltaje que aplica cero voltios es un cortocircuito.

Prueba

La reciprocidad de las redes eléctricas es un caso especial de reciprocidad de Lorentz , pero también puede demostrarse más directamente a partir de los teoremas de las redes. Esta prueba muestra reciprocidad para una red de dos nodos en términos de su matriz de admitancia , y luego muestra reciprocidad para una red con un número arbitrario de nodos mediante un argumento de inducción . Una red lineal se puede representar como un conjunto de ecuaciones lineales mediante análisis nodal . Estas ecuaciones se pueden expresar en forma de matriz de admitancia, ^[6]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\\vdots \\I_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}&\cdots &Y_{1n}\\Y_{21}&Y_{22}&\cdots &Y_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\Y_{n1}&Y_{n2}&\cdots &Y_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\\\vdots \\V_{n}\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle I_{k}}$es la corriente inyectada en el nodo k por un generador

${\displaystyle V_{k}}$es el voltaje en el nodo k

${\displaystyle Y_{jk}}$( j ≠ k ) es el negativo de la admitancia conectada entre los nodos j y k

${\displaystyle Y_{kk}}$es la suma de las admitancias conectadas al nodo k .

Si además requerimos que la red esté formada por elementos bilaterales pasivos, entonces

${\displaystyle Y_{jk}=Y_{kj}}$

ya que la admitancia conectada entre los nodos j y k es el mismo elemento que la admitancia conectada entre los nodos k y j . Por tanto, la matriz es simétrica. ^[7] Para el caso en el que la matriz se reduce a,${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}}$.

De donde se puede ver que,

${\displaystyle Y_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}}$ y

${\displaystyle Y_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}\ .}$

Pero desde entonces${\displaystyle Y_{12}=Y_{21}}$

${\displaystyle \left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}=\left.{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}}$

que es sinónimo de la condición de reciprocidad. En palabras, la relación entre la corriente en un puerto y el voltaje en otro es la misma relación si se intercambian los puertos que se controlan y miden. Así queda probada la reciprocidad para el caso de . ^[8]${\displaystyle n=2}$

Para el caso de una matriz de tamaño arbitrario, el orden de la matriz se puede reducir mediante la eliminación de nodos . Después de eliminar el s- ésimo nodo, la nueva matriz de admitancia tendrá la forma,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}(Y_{11}Y_{ss}-Y_{s1}Y_{1s})&(Y_{12}Y_{ss}-Y_{s2}Y_{1s})&(Y_{13}Y_{ss}-Y_{s3}Y_{1s})&\cdots \\(Y_{21}Y_{ss}-Y_{s1}Y_{2s})&(Y_{22}Y_{ss}-Y_{s2}Y_{2s})&(Y_{23}Y_{ss}-Y_{s3}Y_{2s})&\cdots \\(Y_{31}Y_{ss}-Y_{s1}Y_{3s})&(Y_{32}Y_{ss}-Y_{s2}Y_{3s})&(Y_{33}Y_{ss}-Y_{s3}Y_{3s})&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{bmatrix}}}$

Se puede ver que esta nueva matriz también es simétrica. Los nodos pueden continuar eliminándose de esta manera hasta que solo quede una matriz simétrica de 2 × 2 que involucre a los dos nodos de interés. Dado que esta matriz es simétrica, se demuestra que la reciprocidad se aplica a una matriz de tamaño arbitrario cuando un nodo es impulsado por un voltaje y una corriente medida en otro. Un proceso similar que utiliza la matriz de impedancia del análisis de malla demuestra reciprocidad en la que un nodo es impulsado por una corriente y el voltaje se mide en otro. ^[9]

Referencias

1. Bakshi y Bakshi, págs. 7-27–7-28
2. Kumar, pág. 700
3. Harris, pág. 632
4. Zhang y Li, pág. 119
5. Kumar, pág. 700
6. Guillemin, págs. 77–79
7. Guillemin, pág. 79
8. Guillemin, págs. 148-149
9. Guillemin, págs. 149-150

Bibliografía

• Bakshi, UA; Bakshi, AV, redes eléctricas , publicaciones técnicas, 2008 ISBN  8184314647 .
• Guillemin, Ernst A., Introducción a la teoría de circuitos , Nueva York: John Wiley & Sons, 1953 OCLC 535111 
• Kumar, KS Suresh, Circuitos y redes eléctricos , Pearson Education India, 2008 ISBN 8131713903 . 
• Harris, Vincent G., "Ferritas de microondas y aplicaciones", cap. 14 pulg., Mailadil T. Sebastian, Rick Ubic, Heli Jantunen, Materiales y aplicaciones de microondas , John Wiley & Sons, 2017 ISBN 1119208521 . 
• Zhang, Kequian; Li, Dejie, Teoría electromagnética para microondas y optoelectrónica , Springer Science & Business Media, 2013 ISBN 3662035537 .