En matemáticas , el teorema de Poincaré-Bendixson es un enunciado sobre el comportamiento a largo plazo de las órbitas de sistemas dinámicos continuos en el plano, cilindro o dos esferas. [1]
Teorema
Dado un sistema dinámico real de diferenciable definida en un abierto subconjunto del plano, cada no vacío compacto ω conjunto -limit de una órbita , que contiene sólo un número finito de puntos fijos, es o bien [2]
- un punto fijo ,
- una órbita periódica , o
- un conjunto conectado compuesto por un número finito de puntos fijos junto con órbitas homoclínicas y heteroclínicas que los conectan.
Además, hay como máximo una órbita que conecta diferentes puntos fijos en la misma dirección. Sin embargo, podría haber muchas órbitas homoclínicas conectando un punto fijo.
Henri Poincaré ( 1892 ) concibió originalmente una versión más débil del teorema , aunque carecía de una demostración completa que luego fue dada por Ivar Bendixson ( 1901 ).
Discusión
La condición de que el sistema dinámico esté en el plano es necesaria para el teorema. En un toro , por ejemplo, es posible tener una órbita no periódica recurrente. [3] En particular, el comportamiento caótico solo puede surgir en sistemas dinámicos continuos cuyo espacio de fase tiene tres o más dimensiones. Sin embargo, el teorema no se aplica a los sistemas dinámicos discretos , donde el comportamiento caótico puede surgir en sistemas bidimensionales o incluso unidimensionales.
Aplicaciones
Una implicación importante es que un sistema dinámico continuo bidimensional no puede dar lugar a un atractor extraño . Si existiera un atractor extraño C en tal sistema, entonces podría estar encerrado en un subconjunto cerrado y acotado del espacio de fase. Al hacer este subconjunto lo suficientemente pequeño, se podrían excluir los puntos estacionarios cercanos. Pero entonces el teorema de Poincaré-Bendixson dice que C no es un atractor extraño en absoluto, es un ciclo límite o converge a un ciclo límite.
Referencias
- ^ Coddington, Conde A .; Levinson, Norman (1955). "La teoría de Poincaré-Bendixson de sistemas autónomos bidimensionales". Teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 389–403 . ISBN 978-0-89874-755-3.
- ^ Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.
- ^ D'Heedene, Enfermera registrada (1961). "Una ecuación diferencial autónoma de tercer orden con soluciones casi periódicas" . Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . Elsevier . 3 (2): 344–350. doi : 10.1016 / 0022-247X (61) 90059-2 .
- Bendixson, Ivar (1901), "Sur les courbes définies par des équations différentielles" (PDF) , Acta Mathematica , Springer Países Bajos, 24 (1): 1–88, doi : 10.1007 / BF02403068
- Poincaré, Henri (1892), "Sur les courbes définies par une équation différentielle", Oeuvres , 1 , París